Найдите точку минимума функции y = (2x^2 - 38x + 38) * e^(25 - x) .

Найдём производную по правилу произведения, учитывая (e^(25-x))' = -e^(25-x) : y' = (4x - 38)e^(25-x) + (2x^2 - 38x + 38)*(-e^(25-x)) = e^(25-x)[(4x - 38) - (2x^2 - 38x + 38)] = e^(25-x)[-2x^2 + 42x - 76] = -2e^(25-x)(x^2 - 21x + 38). Так как e^(25-x) > 0 при всех x , знак y' противоположен знаку трёхчлена x^2 - 21x + 38 . Корни квадратного уравнения x^2 - 21x + 38 = 0 : x = (21 +- sqrt(441 - 152))/(2) = (21 +- sqrt(289))/(2) = (21 +- 17)/(2). Значит x_1 = 2 , x_2 = 19 . Тогда y' = -2e^(25-x)(x - 2)(x - 19) . Анализ знаков на числовой прямой: 1. при x < 2 : (x-2)<0 , (x-19)<0 , произведение положительно, y' < 0 — функция убывает; 2. при 2 < x < 19 : (x-2)>0 , (x-19)<0 , произведение отрицательно, y' > 0 — функция возрастает; 3. при x > 19 : y' < 0 — функция убывает. В точке x = 2 производная меняет знак с « - » на « + » — это точка минимума. Ответ: 2 .

2