Задача №16942

На рисунке изображён график функции $y=f(x)\text{.}$ На оси абсцисс отмечены точки $-2\text{,}$ $-1\text{,}$ $2\text{,}$ $4\text{.}$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Значение производной $f^{\prime }(x_0)$ — это тангенс угла наклона касательной к графику в точке $x_0\text{,}$ причём угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox\text{.}$

По рисунку:

1. В точках $x=-1$ и $x=4$ функция убывает, $f^{\prime }(-1)<0\text{,}$ $f^{\prime }(4)<0$ (касательная образует тупой угол с осью $Ox$).
2. В точках $x=-2$ и $x=2$ функция возрастает, $f^{\prime }(-2)>0\text{,}$ $f^{\prime }(2)>0\text{.}$

Из сравнения углов наклона касательных в этих двух точках видно, что в $x=2$ касательная круче поднимается, чем в $x=-2\text{,}$ поэтому $f^{\prime }(2)>f^{\prime }(-2)\text{.}$

Значит, наибольшая производная — в точке $x=2\text{.}$

Ответ: $2\text{.}$