15 декабря 2025 года Дед Мороз, окончательно запутавшись в смете на подарки, решил взять кредит в банке «Ледниковый период» на сумму 12 млн рублей на 24 месяца. Помогает ему в этом Снегурочка, которая в прошлой жизни была финансовым аналитиком, но ушла в сказку из-за любви к оленям. Условия кредита, составленные хитрым банкиром Шкодиным: 1. 1-го числа каждого месяца долг вырастает на r процентов — банк называет это «новогодней магией инфляции». 2. Со 2-го по 14-е число каждого месяца Дед Мороз должен одним платежом внести часть долга; 3. 15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться ровно на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим 15-м числом — это условие называется «равномерное таяние долга, как снеговик в апреле». 4. К 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен — чтобы встретить Новый 2028 год без долгов и с чистой совестью. Снегурочка, вооружившись волшебным калькулятором и глинтвейном, подсчитала, что общая сумма платежей в 2027 году составит 6975000 рублей. Найдите r .

Обозначим долг на 15-е число k -го месяца через D_k (млн руб.), где k = 0, 1, , 24 . По условию: - D_0 = 12 , D_(24) = 0 ; - разность D_(k-1) - D_k = const = (12)/(24) = 0,5 млн руб. Следовательно, D_k = 12 - 0,5k = (24 - k)/(2) млн руб. Платёж p_(k+1) . На 1-е число (k+1) -го месяца долг становится D_k ( 1 + (r)/(100) ) . После платежа p_(k+1) на 15-е число (k+1) -го месяца долг должен стать D_(k+1) . Поэтому p_(k+1) = D_k ( 1 + (r)/(100) ) - D_(k+1) = (24 - k)/(2) ( 1 + (r)/(100) ) - (23 - k)/(2) = (1)/(2) ( (24 - k) * (r)/(100) + 1 ). Платежи в 2027 году. Кредит выдан 15.12.2025 (день долга D_0 ). Тогда: - D_1 — 15.01.2026, ..., D_(12) — 15.12.2026; - D_(13) — 15.01.2027, ..., D_(24) — 15.12.2027. Значит, платежи в 2027 году — это p_(13), p_(14), , p_(24) , что соответствует значениям индекса k = 12, 13, , 23 : _(k=12)^(23) p_(k+1) = (1)/(2) _(k=12)^(23) [ (24 - k) (r)/(100) + 1 ] = (r)/(200) _(k=12)^(23) (24 - k) + (12)/(2). Рассчитаем сумму арифметической прогрессии: _(k=12)^(23) (24 - k) = 12 + 11 + 10 + + 1 = (12 * 13)/(2) = 78. Таким образом, сумма платежей в 2027 году (в млн руб.): S_(2027) = (78r)/(200) + 6 = 0,39r + 6. По условию S_(2027) = 6,975 млн руб. Составим уравнение: 0,39r + 6 = 6,975 => 0,39r = 0,975 => r = 2,5. Ответ: r = 2,5 .

2.5