Задача №16941

15 декабря 2025 года Дед Мороз, окончательно запутавшись в смете на подарки, решил взять кредит в банке «Ледниковый период» на сумму 12 млн рублей на 24 месяца. Помогает ему в этом Снегурочка, которая в прошлой жизни была финансовым аналитиком, но ушла в сказку из-за любви к оленям. Условия кредита, составленные хитрым банкиром Шкодиным:
1. 1-го числа каждого месяца долг вырастает на $r$ процентов — банк называет это «новогодней магией инфляции».
2. Со 2-го по 14-е число каждого месяца Дед Мороз должен одним платежом внести часть долга;
3. 15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться ровно на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим 15-м числом — это условие называется «равномерное таяние долга, как снеговик в апреле».
4. К 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен — чтобы встретить Новый 2028 год без долгов и с чистой совестью.

Снегурочка, вооружившись волшебным калькулятором и глинтвейном, подсчитала, что общая сумма платежей в 2027 году составит $6975000$ рублей.

Найдите $r\text{.}$

Обозначим долг на 15-е число $k$-го месяца через $D_k$ (млн руб.), где $k=0,1,\dots ,24\text{.}$ По условию:

• $D_0=12\text{,}$ $D_{24}=0\text{;}$
• разность $D_{k-1}-D_k=\text{const}=\frac{12}{24}=0,5$ млн руб.

Следовательно, $D_k=12-0,5k=\frac{24-k}{2}$ млн руб.

Платёж $p_{k+1}\text{.}$ На 1-е число $(k+1)$-го месяца долг становится $D_k\left(1+\frac{r}{100}\right)\text{.}$ После платежа $p_{k+1}$ на 15-е число $(k+1)$-го месяца долг должен стать $D_{k+1}\text{.}$ Поэтому

$$p_{k+1}=D_k\left(1+\frac{r}{100}\right)-D_{k+1}=\frac{24-k}{2}\left(1+\frac{r}{100}\right)-\frac{23-k}{2}=\frac{1}{2}\left((24-k)\cdot \frac{r}{100}+1\right).$$

Платежи в 2027 году. Кредит выдан 15.12.2025 (день долга $D_0$). Тогда:

• $D_1$ — 15.01.2026, ..., $D_{12}$ — 15.12.2026;
• $D_{13}$ — 15.01.2027, ..., $D_{24}$ — 15.12.2027.

Значит, платежи в 2027 году — это $p_{13},p_{14},\dots ,p_{24}\text{,}$ что соответствует значениям индекса $k=12,13,\dots ,23\text{:}$

$$\sum _{k=12}^{23}{p}_{k+1}=\frac{1}{2}\sum _{k=12}^{23}\left[(24-k)\frac{r}{100}+1\right]=\frac{r}{200}\sum _{k=12}^{23}(24-k)+\frac{12}{2}.$$

Рассчитаем сумму арифметической прогрессии:

$$\sum _{k=12}^{23}(24-k)=12+11+10+\cdots +1=\frac{12\cdot 13}{2}=78.$$

Таким образом, сумма платежей в 2027 году (в млн руб.):

$$S_{2027}=\frac{78r}{200}+6=0,39r+6.$$

По условию $S_{2027}=6,975$ млн руб. Составим уравнение:

$$0,39r+6=6,975\Rightarrow 0,39r=0,975\Rightarrow r=2,5.$$

Ответ: $r=2,5\text{.}$