Задача №16939

а) Решите уравнение
${\log }_{125}(5^{3x}+2{\cos }^{2}x-(\sqrt{3}+12)\cos x+6\sqrt{3})=x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{11\pi }{2};7\pi \right]\text{.}$

а) Решим уравнение

$${\log }_{125}(5^{3x}+2{\cos }^{2}x-(\sqrt{3}+12)\cos x+6\sqrt{3})=x.$$

Так как $125=5^3\text{,}$ по определению логарифма получаем:

$$5^{3x}+2{\cos }^{2}x-(\sqrt{3}+12)\cos x+6\sqrt{3}=125^x=5^{3x}.$$

Подлогарифмическое выражение в исходном уравнении приравнено к положительному числу $125^x>0\text{,}$ поэтому полученное уравнение равносильно исходному. Сокращая $5^{3x}\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x-(\sqrt{3}+12)\cos x+6\sqrt{3}=0.$$

Решаем как квадратное относительно $\cos x\text{.}$ Дискриминант:

$$D=(\sqrt{3}+12{)}^2-4\cdot 2\cdot 6\sqrt{3}=3+24\sqrt{3}+144-48\sqrt{3}=147-24\sqrt{3}=(12-\sqrt{3}{)}^2.$$

Корни:

$$\cos x=\frac{(\sqrt{3}+12)\pm (12-\sqrt{3})}{4}=\{\begin{array}{l}6,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Значение $\cos x=6$ невозможно, так как $|\cos x|⩽1\text{.}$ Остаётся $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ откуда

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{11\pi }{2};7\pi \right]\text{.}$

Заметим, что $\frac{11\pi }{2}=\frac{33\pi }{6}$ и $7\pi =\frac{42\pi }{6}\text{.}$

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ при $n=3\text{:}$
$x=\frac{\pi }{6}+6\pi =\frac{37\pi }{6}\in \left[\frac{33\pi }{6};\frac{42\pi }{6}\right]\text{.}$

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ при $n=3\text{:}$
$x=-\frac{\pi }{6}+6\pi =\frac{35\pi }{6}\in \left[\frac{33\pi }{6};\frac{42\pi }{6}\right]\text{.}$

Других корней на отрезке нет.

Ответ:

а) $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{35\pi }{6};\frac{37\pi }{6}$