а) Решите уравнение _(125)(5^(3x) + 2cos^2 x - (sqrt(3) + 12)cos x + 6sqrt(3)) = x . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(11pi)/(2); 7pi] .

а) Решим уравнение _(125)(5^(3x) + 2cos^2 x - (sqrt(3) + 12)cos x + 6sqrt(3)) = x. Так как 125 = 5^3 , по определению логарифма получаем: 5^(3x) + 2cos^2 x - (sqrt(3) + 12)cos x + 6sqrt(3) = 125^x = 5^(3x). Подлогарифмическое выражение в исходном уравнении приравнено к положительному числу 125^x > 0 , поэтому полученное уравнение равносильно исходному. Сокращая 5^(3x) : 2cos^2 x - (sqrt(3) + 12)cos x + 6sqrt(3) = 0. Решаем как квадратное относительно cos x . Дискриминант: D = (sqrt(3) + 12)^2 - 4 * 2 * 6sqrt(3) = 3 + 24sqrt(3) + 144 - 48sqrt(3) = 147 - 24sqrt(3) = (12 - sqrt(3))^2. Корни: cos x = ((sqrt(3) + 12) +- (12 - sqrt(3)))/(4) = cases 6, (sqrt(3))/(2). cases Значение cos x = 6 невозможно, так как |cos x| 1 . Остаётся cos x = (sqrt(3))/(2) , откуда x = +- (pi)/(6) + 2pi n, n in Z. б) Отбор корней на отрезке [(11pi)/(2); 7pi] . Заметим, что (11pi)/(2) = (33pi)/(6) и 7pi = (42pi)/(6) . Серия x = (pi)/(6) + 2pi n при n = 3 : x = (pi)/(6) + 6pi = (37pi)/(6) in [(33pi)/(6); (42pi)/(6)] . Серия x = -(pi)/(6) + 2pi n при n = 3 : x = -(pi)/(6) + 6pi = (35pi)/(6) in [(33pi)/(6); (42pi)/(6)] . Других корней на отрезке нет. Ответ: а) +- (pi)/(6) + 2pi n, n in Z б) (35pi)/(6); (37pi)/(6)

А) $\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$; Б) $\dfrac{35\pi}{6},\ \dfrac{37\pi}{6}$