Задача №16934

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}\lg (2|x|+3|y|)=\lg 6,\\ x^2-1+a^2=-y^2+2ay\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Из первого уравнения системы $\lg (2|x|+3|y|)=\lg 6$ получаем $2|x|+3|y|=6\text{.}$ Второе уравнение преобразуем:

$$x^2-1+a^2=-y^2+2ay\iff x^2+y^2-2ay+a^2=1\iff x^2+(y-a{)}^2=1.$$

Получаем равносильную систему

$$\{\begin{array}{l}2|x|+3|y|=6,\\ x^2+(y-a{)}^2=1.\end{array}$$

Геометрическая интерпретация. Первое уравнение задаёт ромб $ABCD$ с вершинами $A(-3;0)\text{,}$ $B(0;2)\text{,}$ $C(3;0)\text{,}$ $D(0;-2)\text{.}$ Второе уравнение — окружность $\omega$ радиуса $R=1$ с центром $O_1(0;a)$ на оси $Oy\text{.}$ Система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда окружность и ромб имеют ровно две общие точки.

Радиус вписанной в ромб окружности. Сторона ромба: $AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\text{,}$ площадь $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\text{,}$ полупериметр $p=2\sqrt{13}\text{.}$ Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{12}{2\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}\approx 1,66>1=R.$$

Значит, при $a=0$ окружность $\omega$ целиком лежит внутри ромба и не имеет с ним общих точек.

Случай $a>0\text{.}$ Будем сдвигать центр $O_1$ вверх по оси $Oy\text{.}$

1. Первый момент появления общих точек — касание окружностью $\omega$ сторон $AB$ и $BC$ ромба (по симметрии относительно оси $Oy$). Тогда у системы 2 общие точки. Найдём это значение $a\text{.}$ Опустим из $O_1$ перпендикуляр $O_{1}H$ на сторону $AB$ (точка касания). Прямоугольные треугольники $O_{1}BH$ и $ABO$ подобны (общий угол $\angle B$):

$$\frac{O_{1}H}{AO}=\frac{O_{1}B}{AB}\iff \frac{1}{3}=\frac{O_{1}B}{\sqrt{13}}\iff O_{1}B=\frac{\sqrt{13}}{3}.$$ $$O{O}_1=OB-O_{1}B=2-\frac{\sqrt{13}}{3},\text{ т. е. }a=2-\frac{\sqrt{13}}{3}.$$

2. При $2-\frac{\sqrt{13}}{3}<a<1$ окружность пересекает обе стороны $AB$ и $BC$ в двух точках каждую — всего 4 общие точки.

3. При $a=1$ окружность проходит через вершину $B(0;2)\text{:}$ $0^2+(2-1{)}^2=1\text{.}$ Слияние двух точек на сторонах в одной — итого 3 общие точки.

4. При $1<a<3$ окружность пересекает только одну пару сторон $AB$ и $BC$ — по одной точке — итого 2 общие точки.

5. При $a=3$ окружность касается ромба внешним образом в точке $B$ — 1 общая точка.

6. При $a>3$ окружность не имеет с ромбом общих точек.

Итак, для $a>0$ ровно 2 общие точки получаются при $a=2-\frac{\sqrt{13}}{3}$ или $a\in (1;3)\text{.}$

Случай $a<0\text{.}$ В силу центральной симметрии ромба (центр совпадает с началом координат) ситуация повторяется со сменой знака: ровно 2 общие точки при $a=\frac{\sqrt{13}}{3}-2$ или $a\in (-3;-1)\text{.}$

Ответ: $a\in (-3;-1)\cup \left\{\frac{\sqrt{13}}{3}-2\right\}\cup \left\{2-\frac{\sqrt{13}}{3}\right\}\cup (1;3)\text{.}$