Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases lg(2|x| + 3|y|) = lg 6, x^2 - 1 + a^2 = -y^2 + 2ay cases имеет ровно два различных решения.

Из первого уравнения системы lg(2|x| + 3|y|) = lg 6 получаем 2|x| + 3|y| = 6 . Второе уравнение преобразуем: x^2 - 1 + a^2 = -y^2 + 2ay <=> x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = 1 <=> x^2 + (y - a)^2 = 1. Получаем равносильную систему cases 2|x| + 3|y| = 6, x^2 + (y - a)^2 = 1. cases Геометрическая интерпретация. Первое уравнение задаёт ромб ABCD с вершинами A(-3; 0) , B(0; 2) , C(3; 0) , D(0; -2) . Второе уравнение — окружность радиуса R = 1 с центром O_1(0; a) на оси Oy . Система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда окружность и ромб имеют ровно две общие точки. Радиус вписанной в ромб окружности. Сторона ромба: AB = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13) , площадь S_(ABCD) = (1)/(2) * AC * BD = (1)/(2) * 6 * 4 = 12 , полупериметр p = 2sqrt(13) . Радиус вписанной окружности: r = (S)/(p) = (12)/(2sqrt(13)) = (6)/(sqrt(13)) ~ 1,66 > 1 = R. Значит, при a = 0 окружность целиком лежит внутри ромба и не имеет с ним общих точек. Случай a > 0 . Будем сдвигать центр O_1 вверх по оси Oy . 1. Первый момент появления общих точек — касание окружностью сторон AB и BC ромба (по симметрии относительно оси Oy ). Тогда у системы 2 общие точки. Найдём это значение a . Опустим из O_1 перпендикуляр O_1H на сторону AB (точка касания). Прямоугольные треугольники O_1BH и ABO подобны (общий угол B ): (O_1H)/(AO) = (O_1B)/(AB) <=> (1)/(3) = (O_1B)/(sqrt(13)) <=> O_1B = (sqrt(13))/(3). OO_1 = OB - O_1B = 2 - (sqrt(13))/(3), т. е. a = 2 - (sqrt(13))/(3). 2. При 2 - (sqrt(13))/(3) < a < 1 окружность пересекает обе стороны AB и BC в двух точках каждую — всего 4 общие точки. 3. При a = 1 окружность проходит через вершину B(0; 2) : 0^2 + (2 - 1)^2 = 1 . Слияние двух точек на сторонах в одной — итого 3 общие точки. 4. При 1 < a < 3 окружность пересекает только одну пару сторон AB и BC — по одной точке — итого 2 общие точки. 5. При a = 3 окружность касается ромба внешним образом в точке B — 1 общая точка. 6. При a > 3 окружность не имеет с ромбом общих точек. Итак, для a > 0 ровно 2 общие точки получаются при a = 2 - (sqrt(13))/(3) или a in (1; 3) . Случай a < 0 . В силу центральной симметрии ромба (центр совпадает с началом координат) ситуация повторяется со сменой знака: ровно 2 общие точки при a = (sqrt(13))/(3) - 2 или a in (-3; -1) . Ответ: a in (-3; -1) U (sqrt(13))/(3) - 2 U 2 - (sqrt(13))/(3) U (1; 3) .

$a \in (-3;\, -1) \cup \left\{\dfrac{\sqrt{13}}{3} - 2\right\} \cup \left\{2 - \dfrac{\sqrt{13}}{3}\right\} \cup (1;\, 3)$