Задача №16933

Плоскость, параллельная основанию прямого кругового конуса, делит его на конус и усечённый конус, боковые поверхности которых относятся как $1:3\text{.}$ Найдите, как относится объём усечённого конуса к объёму отсечённого конуса.

Пусть исходный конус имеет высоту $H\text{,}$ радиус основания $R$ и образующую $L\text{,}$ объём $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H\text{,}$ боковую поверхность $S_{\text{бок}}=\pi RL\text{.}$

Плоскость, параллельная основанию, отсекает сверху малый конус, подобный исходному с коэффициентом $k\text{.}$ Тогда:

1. Образующая малого конуса: $kL\text{,}$ радиус: $kR\text{.}$
2. Боковая поверхность малого конуса: $S_{\text{мал}}=\pi (kR)(kL)=k^2\pi RL\text{.}$
3. Боковая поверхность усечённого конуса: $S_{\text{ус}}=(1-k^2)\pi RL\text{.}$

По условию $S_{\text{мал}}:S_{\text{ус}}=1:3\text{:}$

Объём малого конуса равен $k^{3}V=\frac{V}{8}\text{.}$ Объём усечённого конуса:

Искомое отношение:

Ответ: 7