Плоскость, параллельная основанию прямого кругового конуса, делит его на конус и усечённый конус, боковые поверхности которых относятся как 1 : 3 . Найдите, как относится объём усечённого конуса к объёму отсечённого конуса.

Пусть исходный конус имеет высоту H , радиус основания R и образующую L , объём V = (1)/(3)pi R^2 H , боковую поверхность S_(бок) = pi R L . Плоскость, параллельная основанию, отсекает сверху малый конус, подобный исходному с коэффициентом k . Тогда: 1. Образующая малого конуса: kL , радиус: kR . 2. Боковая поверхность малого конуса: S_(мал) = pi (kR)(kL) = k^2 pi R L . 3. Боковая поверхность усечённого конуса: S_(ус) = (1 - k^2)pi R L . По условию S_(мал) : S_(ус) = 1 : 3 : (k^2)/(1 - k^2) = (1)/(3) => 3k^2 = 1 - k^2 => k^2 = (1)/(4) => k = (1)/(2). Объём малого конуса равен k^3 V = (V)/(8) . Объём усечённого конуса: V_(ус) = V - (V)/(8) = (7V)/(8). Искомое отношение: (V_(ус))/(V_(мал)) = (7V/8)/(V/8) = 7. Ответ: 7

7