Задача №16932

Решите уравнение ${\log }_{4x-8}(x^2-2x-3)=1\text{.}$ Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: основание логарифма положительно и не равно $1\text{,}$ аргумент положителен:

1. $4x-8>0\Rightarrow x>2\text{;}$
2. $4x-8\ne 1\Rightarrow x\ne \frac{9}{4}\text{;}$
3. $x^2-2x-3>0\iff (x-3)(x+1)>0\Rightarrow x<-1$ или $x>3\text{.}$

Пересечение: $x>3$ (условие $x\ne \frac{9}{4}$ выполнено автоматически).

Уравнение ${\log }_{4x-8}(x^2-2x-3)=1$ равносильно уравнению $x^2-2x-3=4x-8\text{:}$

Корни: $x=1$ и $x=5\text{.}$

Корень $x=1$ не входит в ОДЗ (так как $1<3$). Корень $x=5$ входит в ОДЗ (так как $5>3$).

Проверка:
${\log }_{4\cdot 5-8}(25-10-3)={\log }_{12}12=1\text{.}$

Корень один, он же и «меньший».

Ответ: 5