Задача №16925

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=\frac{x(y+1)-|x|(y-1)}{2x},\\ ax-y+2a=0\end{array}$$

имеет единственное решение.

Решение (графический метод в плоскости $xOy$).

1. Преобразование первого уравнения. При $x\ne 0$ модуль раскрывается двумя случаями:

— При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ и

$$x^2+y^2=\frac{x(y+1)+x(y-1)}{2x}=\frac{2xy}{2x}=y\iff x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$$

Это окружность с центром $O_1\left(0;\frac{1}{2}\right)$ и радиусом $R_1=\frac{1}{2}\text{.}$ Условие $x<0$ даёт левую полуокружность с выколотыми концами $A(0;1)$ и $B(0;0)\text{.}$

— При $x>0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ и

$$x^2+y^2=\frac{x(y+1)-x(y-1)}{2x}=\frac{2x}{2x}=1.$$

Это окружность с центром $B(0;0)$ и радиусом $R_2=1\text{.}$ Условие $x>0$ даёт правую полуокружность с выколотыми концами $A(0;1)$ и $C(0;-1)\text{.}$

Итого: график первого уравнения — объединение двух полуокружностей (левая дуга $AB$ и правая дуга $AC$).

2. Второе уравнение. $ax-y+2a=0\iff y=a(x+2)$ - пучок прямых с угловым коэффициентом $a\text{,}$ проходящих через точку $L(-2;0)\text{.}$

3. Поиск $a\text{,}$ при которых ровно одна общая точка.

Обозначим граничные значения $a_1,a_2,a_3\text{:}$

— $a_1\text{:}$ прямая проходит через $C(0;-1)\text{.}$ Из $-1=a_1\cdot 2$ получаем $a_1=-\frac{1}{2}\text{.}$

— $a_2\text{:}$ прямая проходит через $A(0;1)\text{.}$ Из $1=a_2\cdot 2$ получаем $a_2=\frac{1}{2}\text{.}$

— $a_3\text{:}$ прямая касается левой полуокружности $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{.}$

Заметим: прямая $BL$ (ось $Ox$) — касательная к этой окружности в точке $B$ (так как $BL\perp O_{1}B$). Окружность вписана в угол $\angle BLK\text{,}$ где $K$ — точка касания искомой прямой $a=a_3\text{.}$ Тогда $L{O}_1$ — биссектриса угла $\angle BLK\text{.}$ Положим $\angle BL{O}_1=\alpha \text{.}$ Из прямоугольного $△BL{O}_1\text{:}$

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{O_{1}B}{BL}=\frac{0,5}{2}=0,25.$$

Тогда

$$a_3=\mathrm{tg}\angle BLK=\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{0,5}{1-0,0625}=\frac{0,5}{0,9375}=\frac{8}{15}.$$

Анализ количества пересечений.

— При $a⩽a_1=-\frac{1}{2}$ или $a>a_3=\frac{8}{15}$ — общих точек нет.

— При $a_1<a⩽0$ (прямая пересекает только правую полуокружность $AC$ ровно один раз; при $a=0$ — горизонтальная прямая $y=0$ проходит через выколотую точку $B\text{,}$ так что общая точка одна на правой полуокружности — это точка $(1;0)\text{,}$ проверяется отдельно: $0=0\cdot (1+2)$ — верно, и $1^2+0^2=1$ — верно): ровно одна точка.

— При $a=a_2=\frac{1}{2}\text{:}$ прямая $y=\frac{1}{2}(x+2)$ проходит через $A(0;1)$ ($A$ — выколотая точка); пересечение даёт ровно одну точку на правой полуокружности (вторая точка $A$ выколота). Ровно 1 точка.

— При $a=a_3=\frac{8}{15}\text{:}$ прямая касается левой полуокружности в точке $K$ — ровно одна общая точка с графиком (правую полуокружность не пересекает, так как наклон превышает $a_2$).

— При остальных значениях — две точки.

Объединение всех значений $a\text{,}$ дающих ровно одно решение:

$$a\in \left(-\frac{1}{2};0\right]\cup \left\{\frac{1}{2};\frac{8}{15}\right\}.$$

Ответ: $a\in \left(-\frac{1}{2};0\right]\cup \left\{\frac{1}{2};\frac{8}{15}\right\}$