Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases x^2 + y^2 = (x(y+1) - |x|(y-1))/(2x), ax - y + 2a = 0 cases имеет единственное решение.

Решение (графический метод в плоскости xOy ). 1. Преобразование первого уравнения. При x != 0 модуль раскрывается двумя случаями: — При x < 0 : |x| = -x , и x^2 + y^2 = (x(y+1) + x(y-1))/(2x) = (2xy)/(2x) = y <=> x^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(4). Это окружность с центром O_1(0; (1)/(2)) и радиусом R_1 = (1)/(2) . Условие x < 0 даёт левую полуокружность с выколотыми концами A(0; 1) и B(0; 0) . — При x > 0 : |x| = x , и x^2 + y^2 = (x(y+1) - x(y-1))/(2x) = (2x)/(2x) = 1. Это окружность с центром B(0; 0) и радиусом R_2 = 1 . Условие x > 0 даёт правую полуокружность с выколотыми концами A(0; 1) и C(0; -1) . Итого: график первого уравнения — объединение двух полуокружностей (левая дуга AB и правая дуга AC ). 2. Второе уравнение. ax - y + 2a = 0 <=> y = a(x + 2) — пучок прямых с угловым коэффициентом a , проходящих через точку L(-2; 0) . 3. Поиск a , при которых ровно одна общая точка. Обозначим граничные значения a_1, a_2, a_3 : — a_1 : прямая проходит через C(0; -1) . Из -1 = a_1 * 2 получаем a_1 = -(1)/(2) . — a_2 : прямая проходит через A(0; 1) . Из 1 = a_2 * 2 получаем a_2 = (1)/(2) . — a_3 : прямая касается левой полуокружности x^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(4) . Заметим: прямая BL (ось Ox ) — касательная к этой окружности в точке B (так как BL O_1 B ). Окружность вписана в угол BLK , где K — точка касания искомой прямой a = a_3 . Тогда LO_1 — биссектриса угла BLK . Положим BLO_1 = alpha . Из прямоугольного BLO_1 : tg alpha = (O_1 B)/(BL) = (0,5)/(2) = 0,25. Тогда a_3 = tg BLK = tg 2alpha = (2 tg alpha)/(1 - tg^2 alpha) = (0,5)/(1 - 0,0625) = (0,5)/(0,9375) = (8)/(15). Анализ количества пересечений. — При a a_1 = -(1)/(2) или a > a_3 = (8)/(15) — общих точек нет. — При a_1 < a 0 (прямая пересекает только правую полуокружность AC ровно один раз; при a = 0 — горизонтальная прямая y = 0 проходит через выколотую точку B , так что общая точка одна на правой полуокружности — это точка (1; 0) , проверяется отдельно: 0 = 0 * (1+2) — верно, и 1^2 + 0^2 = 1 — верно): ровно одна точка. — При a = a_2 = (1)/(2) : прямая y = (1)/(2)(x + 2) проходит через A(0; 1) ( A — выколотая точка); пересечение даёт ровно одну точку на правой полуокружности (вторая точка A выколота). Ровно 1 точка. — При a = a_3 = (8)/(15) : прямая касается левой полуокружности в точке K — ровно одна общая точка с графиком (правую полуокружность не пересекает, так как наклон превышает a_2 ). — При остальных значениях — две точки. Объединение всех значений a , дающих ровно одно решение: a in (-(1)/(2); 0] U (1)/(2); (8)/(15). Ответ: a in (-(1)/(2); 0] U (1)/(2); (8)/(15)

$a \in \left(-\dfrac{1}{2};\, 0\right] \cup \left\{\dfrac{1}{2};\; \dfrac{8}{15}\right\}$