Задача №16924: Задачи с прикладным содержанием

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 25$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $27$ см до $33$ см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от $100$ см до $150$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f} .$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Из формулы тонкой линзы $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ при $f = 25$ выразим $d_{2} :$

\frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{25} - \frac{1}{d _{1}} = \frac{d _{1} - 25}{25 d _{1}},

d_{2} = \frac{25 d _{1}}{d _{1} - 25} .

Исследуем зависимость $d_{2} (d_{1})$ на отрезке $d_{1} \in [27; 33] .$ Производная:

(\frac{25 d _{1}}{d _{1} - 25})^{'} = \frac{25 ( d _{1} - 25 ) - 25 d _{1}}{( d _{1} - 25 ) ^{2}} = \frac{- 625}{( d _{1} - 25 ) ^{2}} < 0.

Следовательно, функция $d_{2}$ строго убывает на данном промежутке.

Пограничные значения:
1. Если $d_{1} = 27,$ то $d_{2} = \frac{25 \cdot 27}{2} = 337, 5$ (вне диапазона $[100; 150]$ ).
2. Если $d_{1} = 33,$ то $d_{2} = \frac{25 \cdot 33}{8} = 103, 125$ (внутри диапазона $[100; 150]$ ).

Требуется, чтобы $d_{2} ⩽ 150 .$ Так как функция убывает, для нахождения наименьшего допустимого расстояния $d_{1}$ решим уравнение $\frac{25 d _{1}}{d _{1} - 25} = 150 :$

150 (d_{1} - 25) = 25 d_{1} \Rightarrow 6 (d_{1} - 25) = d_{1} \Rightarrow 6 d_{1} - 150 = d_{1} \Rightarrow 5 d_{1} = 150 \Rightarrow d_{1} = 30.

При $d_{1} \in [30; 33]$ значения $d_{2}$ попадают в диапазон $[103, 125; 150],$ то есть оба условия выполнены. Наименьшее расстояние от линзы до лампочки: $30$ см.

Ответ: 30

Из формулы тонкой линзы $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ при $f = 25$ выразим $d_{2} :$

\frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{25} - \frac{1}{d _{1}} = \frac{d _{1} - 25}{25 d _{1}},

d_{2} = \frac{25 d _{1}}{d _{1} - 25} .

Исследуем зависимость $d_{2} (d_{1})$ на отрезке $d_{1} \in [27; 33] .$ Производная:

(\frac{25 d _{1}}{d _{1} - 25})^{'} = \frac{25 ( d _{1} - 25 ) - 25 d _{1}}{( d _{1} - 25 ) ^{2}} = \frac{- 625}{( d _{1} - 25 ) ^{2}} < 0.

Следовательно, функция $d_{2}$ строго убывает на данном промежутке.

150 (d_{1} - 25) = 25 d_{1} \Rightarrow 6 (d_{1} - 25) = d_{1} \Rightarrow 6 d_{1} - 150 = d_{1} \Rightarrow 5 d_{1} = 150 \Rightarrow d_{1} = 30.

Ответ: 30

Задача №16924

Задача #16924

Решай похожие задачи

Информация

Задача №16924

Задача #16924

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16924

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16924

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация