Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 27 см до 33 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 100 см до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение (1)/(d_1) + (1)/(d_2) = (1)/(f) . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Из формулы тонкой линзы (1)/(d_1) + (1)/(d_2) = (1)/(f) при f = 25 выразим d_2 : (1)/(d_2) = (1)/(25) - (1)/(d_1) = (d_1 - 25)/(25d_1), d_2 = (25d_1)/(d_1 - 25). Исследуем зависимость d_2(d_1) на отрезке d_1 in [27; 33] . Производная: ((25d_1)/(d_1 - 25))' = (25(d_1 - 25) - 25d_1)/((d_1 - 25)^2) = (-625)/((d_1 - 25)^2) < 0. Следовательно, функция d_2 строго убывает на данном промежутке. Пограничные значения: 1. Если d_1 = 27 , то d_2 = (25 * 27)/(2) = 337,5 (вне диапазона [100; 150] ). 2. Если d_1 = 33 , то d_2 = (25 * 33)/(8) = 103,125 (внутри диапазона [100; 150] ). Требуется, чтобы d_2 150 . Так как функция убывает, для нахождения наименьшего допустимого расстояния d_1 решим уравнение (25d_1)/(d_1 - 25) = 150 : 150(d_1 - 25) = 25d_1 => 6(d_1 - 25) = d_1 => 6d_1 - 150 = d_1 => 5d_1 = 150 => d_1 = 30. При d_1 in [30; 33] значения d_2 попадают в диапазон [103,125; 150] , то есть оба условия выполнены. Наименьшее расстояние от линзы до лампочки: 30 см. Ответ: 30

30