а) Решите уравнение 4 sin^2 x - 2 cos x sin 2x + 3 sin x - 1 = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) .

а) Решим уравнение. Используем формулу синуса двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x : 4 sin^2 x - 2 cos x * 2 sin x cos x + 3 sin x - 1 = 0; 4 sin^2 x - 4 sin x cos^2 x + 3 sin x - 1 = 0. Заменим cos^2 x = 1 - sin^2 x : 4 sin^2 x - 4 sin x (1 - sin^2 x) + 3 sin x - 1 = 0; 4 sin^2 x - 4 sin x + 4 sin^3 x + 3 sin x - 1 = 0; 4 sin^3 x + 4 sin^2 x - sin x - 1 = 0. Сгруппируем слагаемые: 4 sin^2 x (sin x + 1) - (sin x + 1) = 0; (sin x + 1)(4 sin^2 x - 1) = 0. Отсюда получаем два случая: 1. sin x + 1 = 0 => sin x = -1 => x = -(pi)/(2) + 2pi n, n in Z . 2. 4 sin^2 x - 1 = 0 => sin^2 x = (1)/(4) => sin x = +- (1)/(2) => x = +- (pi)/(6) + pi k, k in Z . б) Найдем корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) . Из серии x = -(pi)/(2) + 2pi n при n = -1 получаем: x = -(pi)/(2) - 2pi = -(5pi)/(2) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) . Из серии x = (pi)/(6) + pi k : - при k = -3 : x = (pi)/(6) - 3pi = -(17pi)/(6) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) ; - при k = -2 : x = (pi)/(6) - 2pi = -(11pi)/(6) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) . Из серии x = -(pi)/(6) + pi k : - при k = -3 : x = -(pi)/(6) - 3pi = -(19pi)/(6) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) ; - при k = -2 : x = -(pi)/(6) - 2pi = -(13pi)/(6) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) ; - при k = -1 : x = -(pi)/(6) - pi = -(7pi)/(6) in ( -(7pi)/(2); -(5pi)/(6) ) . Ответ: а) -(pi)/(2) + 2pi n, n in Z ; +- (pi)/(6) + pi k, k in Z б) -(19pi)/(6); -(17pi)/(6); -(5pi)/(2); -(13pi)/(6); -(11pi)/(6); -(7pi)/(6)

А) $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\; x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\; n,k \in \mathbb{Z}$; Б) $-\dfrac{19\pi}{6},\; -\dfrac{17\pi}{6},\; -\dfrac{5\pi}{2},\; -\dfrac{13\pi}{6},\; -\dfrac{11\pi}{6},\; -\dfrac{7\pi}{6}$