Найдите объём V правильной треугольной пирамиды со стороной основания 10 и наклоном боковых граней к основанию 60^ . В ответе укажите sqrt(3)* V .

Пусть ABC — основание (равносторонний треугольник со стороной a=10 ), M — вершина пирамиды, O — центр основания, D — середина ребра BC . Апофема основания (расстояние от O до D , то есть от центра до стороны равностороннего треугольника): OD = (a)/(2sqrt(3)) = (10)/(2sqrt(3)) = (5sqrt(3))/(3). Угол наклона боковой грани к основанию — это линейный угол двугранного угла при ребре BC , то есть угол MDO (поскольку MO ABC и OD BC , по теореме о трёх перпендикулярах MD BC , значит MDO — линейный): tg 60^ = (MO)/(OD) => MO = OD * sqrt(3) = (5sqrt(3))/(3) * sqrt(3) = (5 * 3)/(3) = 5. Площадь основания: S_(осн) = (a^2sqrt(3))/(4) = (100sqrt(3))/(4) = 25sqrt(3). Объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * MO = (1)/(3) * 25sqrt(3) * 5 = (125sqrt(3))/(3). Искомая величина: sqrt(3) * V = sqrt(3) * (125sqrt(3))/(3) = (125 * 3)/(3) = 125. Ответ: 125.

125