Задача №16919

Пусть $ABC$ — основание (равносторонний треугольник со стороной $a=10$), $M$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, $D$ — середина ребра $BC\text{.}$

Апофема основания (расстояние от $O$ до $D\text{,}$ то есть от центра до стороны равностороннего треугольника):

$$OD=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{10}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$$

Угол наклона боковой грани к основанию — это линейный угол двугранного угла при ребре $BC\text{,}$ то есть угол $\angle MDO$ (поскольку $MO\perp ABC$ и $OD\perp BC\text{,}$ по теореме о трёх перпендикулярах $MD\perp BC\text{,}$ значит $\angle MDO$ — линейный):

$$\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{MO}{OD}\Rightarrow MO=OD\cdot \sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{5\cdot 3}{3}=5.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot MO=\frac{1}{3}\cdot 25\sqrt{3}\cdot 5=\frac{125\sqrt{3}}{3}.$$

Искомая величина:

$$\sqrt{3}\cdot V=\sqrt{3}\cdot \frac{125\sqrt{3}}{3}=\frac{125\cdot 3}{3}=125.$$

Ответ: 125.