а) Решите уравнение (3sqrt(3)cos 2x + 3sin 2x)/(sqrt(3)cos x + sin x) = 4cos x - (1)/(cos x) . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/(2); (7pi)/(2)] .

а) ОДЗ: cos x != 0 и sqrt(3)cos x + sin x != 0 , то есть tg x != -sqrt(3) . Умножим обе части уравнения на cos x * (sqrt(3)cos x + sin x) != 0 . Используя 3sqrt(3)cos 2x = 3sqrt(3)(2cos^2 x - 1) и 3sin 2x = 6sin x cos x , получаем (3sqrt(3)(2cos^2 x - 1) + 6sin x cos x)cos x = (4cos^2 x - 1)(sqrt(3)cos x + sin x). Раскрывая скобки и перенося всё в левую часть: 6sqrt(3)cos^3 x - 3sqrt(3)cos x + 6sin x cos^2 x - 4sqrt(3)cos^3 x - 4cos^2 x sin x + sqrt(3)cos x + sin x = 0, то есть 2sqrt(3)cos^3 x + 2sin x cos^2 x - 2sqrt(3)cos x + sin x = 0. Группируем: 2sqrt(3)cos x(cos^2 x - 1) + sin x(2cos^2 x + 1) = 0, -2sqrt(3)cos x sin^2 x + sin x(2(1 - sin^2 x) + 1) = 0, sin x (-sqrt(3)sin 2x + 2 + cos 2x) = 0. Получаем совокупность: sin x = 0 либо cos 2x - sqrt(3)sin 2x = -2 . Из второго уравнения после деления на 2 имеем (1)/(2)cos 2x - (sqrt(3))/(2)sin 2x = -1 , то есть cos(2x + (pi)/(3)) = -1 . Отсюда 2x + (pi)/(3) = pi + 2pi n , x = (pi)/(3) + pi n . Из первого — x = pi k . Все эти корни удовлетворяют ОДЗ: cos(pi k) = +- 1 != 0 , tg(pi k) = 0 != -sqrt(3) ; cos((pi)/(3) + pi n) = +- (1)/(2) != 0 , tg((pi)/(3) + pi n) = sqrt(3) != -sqrt(3) . б) Отберём корни на отрезке [(3pi)/(2);(7pi)/(2)] . Для x = pi k : (3)/(2) k (7)/(2) , откуда k in 2,3 и x = 2pi, x = 3pi . Для x = (pi)/(3) + pi n : (7)/(6) n (19)/(6) , откуда n in 2,3 и x = (7pi)/(3), x = (10pi)/(3) . Ответ: а) pi k, (pi)/(3) + pi n; k, n in Z . б) 2pi, (7pi)/(3), 3pi, (10pi)/(3) .

А) x = πk; x = π/3 + πk, k ∈ ℤ. Б) 2π; 7π/3; 3π; 10π/3