Задача №16918

а) Решите уравнение
$\frac{3\sqrt{3}\cos 2x+3\sin 2x}{\sqrt{3}\cos x+\sin x}=4\cos x-\frac{1}{\cos x}\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

а) ОДЗ: $\cos x\ne 0$ и $\sqrt{3}\cos x+\sin x\ne 0\text{,}$ то есть $\mathrm{tg}x\ne -\sqrt{3}\text{.}$

Умножим обе части уравнения на $\cos x\cdot (\sqrt{3}\cos x+\sin x)\ne 0\text{.}$ Используя $3\sqrt{3}\cos 2x=3\sqrt{3}(2{\cos }^{2}x-1)$ и $3\sin 2x=6\sin x\cos x\text{,}$ получаем

$$(3\sqrt{3}(2{\cos }^{2}x-1)+6\sin x\cos x)\cos x=(4{\cos }^{2}x-1)(\sqrt{3}\cos x+\sin x).$$

Раскрывая скобки и перенося всё в левую часть:

$$6\sqrt{3}{\cos }^{3}x-3\sqrt{3}\cos x+6\sin x{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}{\cos }^{3}x-4{\cos }^{2}x\sin x+\sqrt{3}\cos x+\sin x=0,$$

то есть

$$2\sqrt{3}{\cos }^{3}x+2\sin x{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\cos x+\sin x=0.$$

Группируем:

$$2\sqrt{3}\cos x({\cos }^{2}x-1)+\sin x(2{\cos }^{2}x+1)=0,$$ $$-2\sqrt{3}\cos x{\sin }^{2}x+\sin x(2(1-{\sin }^{2}x)+1)=0,$$ $$\sin x(-\sqrt{3}\sin 2x+2+\cos 2x)=0.$$

Получаем совокупность: $\sin x=0$ либо $\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x=-2\text{.}$

Из второго уравнения после деления на 2 имеем $\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=-1\text{,}$ то есть $\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-1\text{.}$ Отсюда $2x+\frac{\pi }{3}=\pi +2\pi n\text{,}$ $x=\frac{\pi }{3}+\pi n\text{.}$

Из первого — $x=\pi k\text{.}$

Все эти корни удовлетворяют ОДЗ: $\cos (\pi k)=\pm 1\ne 0\text{,}$ $\mathrm{tg}(\pi k)=0\ne -\sqrt{3}\text{;}$ $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\pi n\right)=\pm \frac{1}{2}\ne 0\text{,}$ $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{3}+\pi n\right)=\sqrt{3}\ne -\sqrt{3}\text{.}$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Для $x=\pi k\text{:}$ $\frac{3}{2}⩽k⩽\frac{7}{2}\text{,}$ откуда $k\in \{2,3\}$ и $x=2\pi ,x=3\pi \text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{3}+\pi n\text{:}$ $\frac{7}{6}⩽n⩽\frac{19}{6}\text{,}$ откуда $n\in \{2,3\}$ и $x=\frac{7\pi }{3},x=\frac{10\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $\pi k,\frac{\pi }{3}+\pi n;k,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $2\pi ,\frac{7\pi }{3},3\pi ,\frac{10\pi }{3}\text{.}$