Задача №16917

Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года $\frac{3}{5}$ некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 590 денежным единицам, к концу следующего года — 701 денежной единице.

Было подсчитано, что если бы первоначально $\frac{3}{5}$ исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 денежным единицам. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года?

Обозначим начальную сумму через $S$ (д. е.), а годовые ставки в первом и втором банках — $x\%$ и $y\%\text{.}$ Введём $m=1+\frac{x}{100}\text{,}$ $n=1+\frac{y}{100}$ — коэффициенты прироста за год.

Если $\frac{3}{5}S$ положили в первый банк, а $\frac{2}{5}S$ — во второй, то сумма вкладов через год $\frac{3}{5}Sm+\frac{2}{5}Sn\text{,}$ через два года $\frac{3}{5}S{m}^2+\frac{2}{5}S{n}^2\text{.}$ Если же $\frac{2}{5}S$ — в первый, $\frac{3}{5}S$ — во второй, то соответственно $\frac{2}{5}Sm+\frac{3}{5}Sn$ и $\frac{2}{5}S{m}^2+\frac{3}{5}S{n}^2\text{.}$

Требуется найти $\frac{2}{5}S{m}^2+\frac{3}{5}S{n}^2$ при условиях

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{5}Sm+\frac{2}{5}Sn=590,\\ \frac{3}{5}S{m}^2+\frac{2}{5}S{n}^2=701,\\ \frac{2}{5}Sm+\frac{3}{5}Sn=610.\end{array}$$

Умножая каждое уравнение на 5, получаем

$$\{\begin{array}{l}3Sm+2Sn=2950,\\ 3S{m}^2+2S{n}^2=3505,\\ 2Sm+3Sn=3050.\end{array}$$

Сложив первое и третье, получим $5S(m+n)=6000\text{,}$ то есть $S(m+n)=1200\text{.}$ Вычитая первое из третьего, получим $S(n-m)=100\text{.}$ Отсюда $Sm=550\text{,}$ $Sn=650\text{.}$

Подставим во второе уравнение: $3Sm\cdot m+2Sn\cdot n=3505\text{,}$ то есть $1650m+1300n=3505\text{,}$ или $330m+260n=701\text{.}$

Так как $Sm:Sn=550:650=11:13\text{,}$ получаем $m=\frac{11}{13}n\text{.}$ Подставим:

$$330\cdot \frac{11}{13}n+260n=701⟺\frac{3630n+3380n}{13}=701⟺n=\frac{13}{10},$$

откуда $m=\frac{11}{10}\text{.}$

Искомая величина:

$$\frac{2}{5}S{m}^2+\frac{3}{5}S{n}^2=\frac{2}{5}\cdot Sm\cdot m+\frac{3}{5}\cdot Sn\cdot n=\frac{2}{5}\cdot 550\cdot \frac{11}{10}+\frac{3}{5}\cdot 650\cdot \frac{13}{10}=242+507=749.$$

Ответ: 749 денежных единиц.