Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года (3)/(5) некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 590 денежным единицам, к концу следующего года — 701 денежной единице. Было подсчитано, что если бы первоначально (3)/(5) исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 денежным единицам. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года?

Обозначим начальную сумму через S (д. е.), а годовые ставки в первом и втором банках — x% и y% . Введём m = 1 + (x)/(100) , n = 1 + (y)/(100) — коэффициенты прироста за год. Если (3)/(5)S положили в первый банк, а (2)/(5)S — во второй, то сумма вкладов через год (3)/(5)Sm + (2)/(5)Sn , через два года (3)/(5)Sm^2 + (2)/(5)Sn^2 . Если же (2)/(5)S — в первый, (3)/(5)S — во второй, то соответственно (2)/(5)Sm + (3)/(5)Sn и (2)/(5)Sm^2 + (3)/(5)Sn^2 . Требуется найти (2)/(5)Sm^2 + (3)/(5)Sn^2 при условиях cases (3)/(5)Sm + (2)/(5)Sn = 590,[3pt] (3)/(5)Sm^2 + (2)/(5)Sn^2 = 701,[3pt] (2)/(5)Sm + (3)/(5)Sn = 610. cases Умножая каждое уравнение на 5, получаем cases 3Sm + 2Sn = 2950, 3Sm^2 + 2Sn^2 = 3505, 2Sm + 3Sn = 3050. cases Сложив первое и третье, получим 5S(m + n) = 6000 , то есть S(m + n) = 1200 . Вычитая первое из третьего, получим S(n - m) = 100 . Отсюда Sm = 550 , Sn = 650 . Подставим во второе уравнение: 3Sm * m + 2Sn * n = 3505 , то есть 1650m + 1300n = 3505 , или 330m + 260n = 701 . Так как Sm : Sn = 550 : 650 = 11 : 13 , получаем m = (11)/(13)n . Подставим: 330 * (11)/(13)n + 260n = 701 (3630n + 3380n)/(13) = 701 n = (13)/(10), откуда m = (11)/(10) . Искомая величина: (2)/(5)Sm^2 + (3)/(5)Sn^2 = (2)/(5) * Sm * m + (3)/(5) * Sn * n = (2)/(5) * 550 * (11)/(10) + (3)/(5) * 650 * (13)/(10) = 242 + 507 = 749. Ответ: 749 денежных единиц.

749