Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Решите неравенство:
log3−x(x2−10x+25)−2log3−x(4x−x2+5)+2⩽0.Решим неравенство:
log3−x(x2−10x+25)−2log3−x(4x−x2+5)+2⩽0.Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма: 3−x>0 и 3−x=1, откуда x<3 и x=2.
2. Подлогарифмические выражения:
x2−10x+25=(x−5)2>0 при x=5 (на рассматриваемом промежутке выполняется всегда);
4x−x2+5=−(x2−4x−5)=−(x−5)(x+1)>0 при x∈(−1;5).
Итоговая ОДЗ: x∈(−1;2)∪(2;3).
Преобразуем исходное неравенство. Заметим, что (x−5)2=∣x−5∣2, а 4x−x2+5=(x+1)(5−x). Тогда:
2log3−x∣x−5∣−2log3−x((x+1)(5−x))+2⩽0.На ОДЗ имеем x<3, значит, x−5<0, следовательно, ∣x−5∣=5−x. Получаем:
2log3−x(5−x)−2(log3−x(x+1)+log3−x(5−x))+2⩽0; −2log3−x(x+1)+2⩽0; log3−x(x+1)⩾1.Перейдём к натуральному логарифму:
ln(3−x)ln(x+1)⩾1⇔ln(3−x)ln(x+1)−ln(3−x)⩾0.По свойству монотонности логарифмической функции перейдём к рациональному выражению:
(3−x)−1x+1−(3−x)⩾0⇔2−x2x−2⩾0⇔2−xx−1⩾0.Методом интервалов находим, что x∈[1;2). Все полученные значения входят в ОДЗ.
Ответ: [1;2).