Окружность с центром в точке O, вписанная в треугольник ABC, пересекает отрезок AO в точке M и касается стороны AB в точке N. Прямые NM и BO параллельны. А) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. Б) Прямая BO пересекает вписанную окружность в точке L (BL > BO). Найдите отношение площади четырёхугольника BNML к площади треугольника ABC, если cos ABC = (7)/(9).

а) Пусть A = 2alpha , B = 2beta , C = 2gamma — углы треугольника ABC . Центр вписанной окружности O лежит на пересечении биссектрис треугольника ABC . Окружность касается стороны AB в точке N , поэтому ON AB . Так как прямые NM и BO параллельны, соответственные углы OBA и MNA равны beta , и тогда MNO = 90^ - MNA = 90^ - beta. Треугольник MNO равнобедренный ( ON = OM — радиусы), поэтому OMN = 90^ - beta . Но OMN — внешний угол треугольника AMB , значит OMN = alpha + beta . Получаем alpha + 2beta = 90^. С другой стороны, сумма углов треугольника ABC даёт 2alpha + 2beta + 2gamma = 180^ , то есть alpha + beta + gamma = 90^ . Из равенства alpha + 2beta = alpha + beta + gamma следует beta = gamma , то есть B = C . Таким образом, AB = AC , и треугольник ABC равнобедренный. б) Продолжим отрезок AO до пересечения со стороной BC в точке H . Тогда AH — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC (поскольку AB = AC ). Положим BH = 7x . Так как cos ABC = (BH)/(AB) = (7)/(9) , получаем AB = 9x , а значит, BC = 2BH = 14x и AH = sqrt(AB^2 - BH^2) = sqrt(81x^2 - 49x^2) = 4xsqrt(2). Площадь треугольника: S_(ABC) = (1)/(2)AH * BC = (1)/(2) * 4xsqrt(2) * 14x = 28x^2sqrt(2). BN = BH = 7x как отрезки касательных из точки B , поэтому AN = AB - BN = 2x . Полупериметр треугольника ABC равен p = (9x + 9x + 14x)/(2) = 16x , а радиус вписанной окружности r = (S_(ABC))/(p) = (28x^2sqrt(2))/(16x) = (7xsqrt(2))/(4). Из прямоугольного треугольника BOH , в котором OH = r : BO = sqrt(BH^2 + OH^2) = sqrt(49x^2 + (49 * 2x^2)/(16)) = 7xsqrt((9)/(8)) = (21xsqrt(2))/(4). Так как OL = r и точка L лежит на луче BO за точкой O , то BL = BO + OL = (21xsqrt(2))/(4) + (7xsqrt(2))/(4) = 7xsqrt(2). Из подобия треугольников BAO и NAM (общий угол при вершине A , NM BO ): MN = (AN)/(AB) * OB = (2x)/(9x) * (21xsqrt(2))/(4) = (7xsqrt(2))/(6). Четырёхугольник BNML — трапеция, поскольку MN BL . Её высота h = BN sin beta. Из формулы cos 2beta = 2cos^2 beta - 1 при cos 2beta = (7)/(9) получаем cos^2 beta = (8)/(9) , откуда cos beta = (2sqrt(2))/(3) , sin beta = (1)/(3) . Тогда h = 7x * (1)/(3) = (7x)/(3). Площадь трапеции: S_(BNML) = (MN + BL)/(2) * h = (1)/(2) ( (7xsqrt(2))/(6) + 7xsqrt(2) ) * (7x)/(3) = (1)/(2) * 7xsqrt(2) * (7)/(6) * (7x)/(3) = (343 x^2 sqrt(2))/(36). Отношение площадей: (S_(BNML))/(S_(ABC)) = (343 x^2 sqrt(2) / 36)/(28 x^2 sqrt(2)) = (343)/(36 * 28) = (343)/(1008) = (49)/(144). Ответ: (49)/(144) .

49/144