Задача №16913

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ — основание пирамиды, сторона основания $a=2\text{,}$ боковое ребро $PA=\sqrt{6}\text{.}$

1. Длина диагонали $AC\text{.}$ В правильном шестиугольнике со стороной $a$ малая диагональ через одну вершину равна $a\sqrt{3}\text{.}$ Поэтому

$$AC=2\sqrt{3}.$$

2. Боковые рёбра $PA$ и $PC\text{.}$ Так как пирамида правильная, все боковые рёбра равны: $PA=PC=\sqrt{6}\text{.}$

3. Площадь треугольника $PAC\text{.}$ Треугольник $PAC$ — равнобедренный ($PA=PC$). Опустим высоту $PM$ из $P$ на $AC\text{,}$ где $M$ — середина $AC\text{.}$ Тогда $AM=\sqrt{3}\text{,}$ и по теореме Пифагора:

$$PM=\sqrt{P{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}.$$

Площадь сечения:

$$S_{PAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot PM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3.$$

Ответ: 3.