Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
16x2−8x1−4xa+8+2x4−2a−a2+4a+5=0имеет ровно два решения.
Дано уравнение
16x2−8x1−4xa+8+2x4−2a−a2+4a+5=0.Обозначим t=2x>0. Умножив всё уравнение на t4=16x, получим:
2−t−(a+8)t2+(4−2a)t3−(a2−4a−5)t4=0.Заметим, что a2−4a−5=(a+1)(a−5). Перегруппируем:
(a+1)(a−5)t4−(4−2a)t3+(a+8)t2+t−2=0.Этот многочлен от t можно разложить на множители:
((a−5)t2+t+2)⋅((a+1)t2+t−1)=0.Получаем совокупность уравнений:
[(a−5)t2+t+2=0,(a+1)t2+t−1=0.Условие наличия общего корня.
Вычитая второе уравнение из первого:
(a−5−a−1)t2+3=0⇔−6t2+3=0⇔t2=21.Так как t>0, то t=21. Подставив это значение во второе уравнение:
2a+1+21−1=0⇔a+1+2−2=0⇔a=1−2.При этом значении a уравнения имеют общий корень, и исходное уравнение имеет единственный корень — это нам не подходит.
Анализ уравнения (1): (a−5)t2+t+2=0 при a=5.
Дискриминант: D1=1−8(a−5)=41−8a. Корни существуют при a⩽841. По теореме Виета:
t1t2=a−52,t1+t2=−a−51.Чтобы оба корня были положительны, необходимо: a−5>0 и a−5<0, что невозможно.
При a<5 произведение корней t1t2<0, значит, уравнение (1) имеет ровно один положительный корень.
При a=5 получаем линейное уравнение t+2=0, корней t>0 нет. Таким образом, уравнение (1) имеет ровно один положительный корень при a<5.
Анализ уравнения (2): (a+1)t2+t−1=0 при a=−1.
Дискриминант: D2=1+4(a+1)=4a+5. Корни существуют при a⩾−45. По теореме Виета:
t3t4=−a+11,t3+t4=−a+11.1. При a>−1: t3t4<0 — один положительный корень.
2. При a=−1: t−1=0⇒t=1>0 — один положительный корень.
3. При −45<a<−1: t3t4>0 и t3+t4>0 — оба корня положительны.
4. При a=−45: D2=0, корень t=−2(a+1)1=2>0 — один положительный корень.
Итоговая сводка.
Исходное уравнение имеет ровно два положительных решения по t (что соответствует двум корням по x) в следующих случаях:
1. Оба уравнения дают по одному различному корню: a<5 и (a⩾−1 или a=−45) при условии a=1−2. Это соответствует a∈{−45}∪[−1;1−2)∪(1−2;5).
2. Одно уравнение дает два корня, другое — ни одного. При −45<a<−1 уравнение (2) дает два корня, но в этом диапазоне уравнение (1) уже имеет один корень, что в сумме дает три — не подходит.
Ответ: {−45}∪[−1;1−2)∪(1−2;5)
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин