Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение (2)/(16^x) - (1)/(8^x) - (a+8)/(4^x) + (4-2a)/(2^x) - a^2 + 4a + 5 = 0 имеет ровно два решения.

Дано уравнение (2)/(16^x) - (1)/(8^x) - (a+8)/(4^x) + (4-2a)/(2^x) - a^2 + 4a + 5 = 0. Обозначим t = 2^x > 0 . Умножив всё уравнение на t^4 = 16^x , получим: 2 - t - (a+8)t^2 + (4 - 2a)t^3 - (a^2 - 4a - 5)t^4 = 0. Заметим, что a^2 - 4a - 5 = (a+1)(a-5) . Перегруппируем: (a+1)(a-5)t^4 - (4 - 2a)t^3 + (a+8)t^2 + t - 2 = 0. Этот многочлен от t можно разложить на множители: ((a-5)t^2 + t + 2) * ((a+1)t^2 + t - 1) = 0. Получаем совокупность уравнений: [ aligned &(a-5)t^2 + t + 2 = 0, &(a+1)t^2 + t - 1 = 0. aligned . **Условие наличия общего корня.** Вычитая второе уравнение из первого: (a - 5 - a - 1)t^2 + 3 = 0 <=> -6t^2 + 3 = 0 <=> t^2 = (1)/(2). Так как t > 0 , то t = (1)/(sqrt(2)) . Подставив это значение во второе уравнение: (a+1)/(2) + (1)/(sqrt(2)) - 1 = 0 <=> a+1 + sqrt(2) - 2 = 0 <=> a = 1 - sqrt(2). При этом значении a уравнения имеют общий корень, и исходное уравнение имеет единственный корень — это нам не подходит. **Анализ уравнения (1): (a-5)t^2 + t + 2 = 0 при a != 5 .** Дискриминант: D_1 = 1 - 8(a-5) = 41 - 8a . Корни существуют при a (41)/(8) . По теореме Виета: t_1 t_2 = (2)/(a-5), t_1 + t_2 = -(1)/(a-5). Чтобы оба корня были положительны, необходимо: a-5 > 0 и a-5 < 0 , что невозможно. При a < 5 произведение корней t_1 t_2 < 0 , значит, уравнение (1) имеет ровно один положительный корень. При a = 5 получаем линейное уравнение t + 2 = 0 , корней t > 0 нет. Таким образом, уравнение (1) имеет ровно один положительный корень при a < 5 . **Анализ уравнения (2): (a+1)t^2 + t - 1 = 0 при a != -1 .** Дискриминант: D_2 = 1 + 4(a+1) = 4a + 5 . Корни существуют при a -(5)/(4) . По теореме Виета: t_3 t_4 = -(1)/(a+1), t_3 + t_4 = -(1)/(a+1). 1. При a > -1 : t_3 t_4 < 0 — один положительный корень. 2. При a = -1 : t - 1 = 0 => t = 1 > 0 — один положительный корень. 3. При -(5)/(4) < a < -1 : t_3 t_4 > 0 и t_3 + t_4 > 0 — оба корня положительны. 4. При a = -(5)/(4) : D_2 = 0 , корень t = -(1)/(2(a+1)) = 2 > 0 — один положительный корень. **Итоговая сводка.** Исходное уравнение имеет ровно два положительных решения по t (что соответствует двум корням по x ) в следующих случаях: 1. Оба уравнения дают по одному различному корню: a < 5 и ( a -1 или a = -(5)/(4) ) при условии a != 1 - sqrt(2) . Это соответствует a in -(5)/(4) U [-1; 1 - sqrt(2)) U (1 - sqrt(2); 5) . 2. Одно уравнение дает два корня, другое — ни одного. При -(5)/(4) < a < -1 уравнение (2) дает два корня, но в этом диапазоне уравнение (1) уже имеет один корень, что в сумме дает три — не подходит. Ответ: -(5)/(4) U [-1; 1 - sqrt(2)) U (1 - sqrt(2); 5)

{-5/4} ∪ [-1; 1 - √2) ∪ (1 - √2; 5)