Решите неравенство: sqrt(x^2 + 2x^2 - 1) + sqrt(x^2 - 2x^2 - 1) 2 .

Решим неравенство sqrt(x^2 + 2x^2 - 1) + sqrt(x^2 - 2x^2 - 1) 2. ОДЗ: x^2 - 1 0 , то есть |x| 1 . При этом x^2 - 2sqrt(x^2 - 1) = (sqrt(x^2 - 1) - 1)^2 0 , так что подкоренное выражение второго радикала неотрицательно автоматически. Заметим, что подкоренные выражения — полные квадраты: x^2 + 2sqrt(x^2 - 1) = (x^2 - 1) + 2sqrt(x^2 - 1) + 1 = (sqrt(x^2 - 1) + 1)^2; x^2 - 2sqrt(x^2 - 1) = (x^2 - 1) - 2sqrt(x^2 - 1) + 1 = (sqrt(x^2 - 1) - 1)^2. Тогда неравенство принимает вид: |sqrt(x^2 - 1) + 1| + |1 - sqrt(x^2 - 1)| 2. По неравенству треугольника |A| + |B| |A + B| , поэтому |sqrt(x^2 - 1) + 1| + |1 - sqrt(x^2 - 1)| |(sqrt(x^2 - 1) + 1) + (1 - sqrt(x^2 - 1))| = 2. Значит, исходное неравенство равносильно равенству |sqrt(x^2 - 1) + 1| + |1 - sqrt(x^2 - 1)| = 2. Равенство в неравенстве треугольника достигается тогда и только тогда, когда выражения sqrt(x^2 - 1) + 1 и 1 - sqrt(x^2 - 1) имеют одинаковый знак (или одно равно нулю), то есть (sqrt(x^2 - 1) + 1)(1 - sqrt(x^2 - 1)) 0. Первый множитель всегда положителен ( sqrt(x^2 - 1) + 1 1 > 0 ), поэтому условие сводится к 1 - sqrt(x^2 - 1) 0 , то есть sqrt(x^2 - 1) 1 , откуда x^2 - 1 1 , то есть x^2 2 . С учётом ОДЗ |x| 1 получаем 1 x^2 2 , то есть 1 |x| sqrt(2) . Ответ: x in [-sqrt(2); -1] U [1; sqrt(2)] .

$x \in [-\sqrt{2};\, -1] \cup [1;\, \sqrt{2}]$