Решите неравенство:
x2+2x2−1+x2−2x2−1⩽2.
Решим неравенство
x2+2x2−1+x2−2x2−1⩽2.ОДЗ: x2−1⩾0, то есть ∣x∣⩾1. При этом x2−2x2−1=(x2−1−1)2⩾0, так что подкоренное выражение второго радикала неотрицательно автоматически.
Заметим, что подкоренные выражения — полные квадраты:
x2+2x2−1=(x2−1)+2x2−1+1=(x2−1+1)2; x2−2x2−1=(x2−1)−2x2−1+1=(x2−1−1)2.Тогда неравенство принимает вид:
x2−1+1+1−x2−1⩽2.По неравенству треугольника ∣A∣+∣B∣⩾∣A+B∣, поэтому
x2−1+1+1−x2−1⩾(x2−1+1)+(1−x2−1)=2.Значит, исходное неравенство равносильно равенству
x2−1+1+1−x2−1=2.Равенство в неравенстве треугольника достигается тогда и только тогда, когда выражения x2−1+1 и 1−x2−1 имеют одинаковый знак (или одно равно нулю), то есть
(x2−1+1)(1−x2−1)⩾0.Первый множитель всегда положителен (x2−1+1⩾1>0), поэтому условие сводится к 1−x2−1⩾0, то есть x2−1⩽1, откуда x2−1⩽1, то есть x2⩽2. С учётом ОДЗ ∣x∣⩾1 получаем 1⩽x2⩽2, то есть 1⩽∣x∣⩽2.
Ответ: x∈[−2;−1]∪[1;2].
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин