Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Текстовые и прикладные
Ларин
Из пункта A в пункт B сплавляют по реке плоты, отправляя их через равные промежутки времени. Пешеход, идущий из A в B, прошёл треть пути от A к B к моменту отплытия первого плота. Дойдя до B, пешеход сразу отправился в A и встретил первый плот, пройдя более 3/13 пути от B к A, а последний плот он встретил, пройдя более 9/10 пути от B до A. Пешеход в пункт A и седьмой плот в пункт B прибыли одновременно. Из пункта A пешеход сразу вышел в B и прибыл туда одновременно с последним плотом. Сколько плотов отправлено из A в B?
Пусть L=AB — расстояние между пунктами, u — скорость пешехода, v — скорость плотов, τ — интервал между отправлениями плотов, n — число плотов. Введём нормировку: L=1, u=1. Тогда время измеряется в единицах L/u.
Хронология. В момент t=0 пешеход находится в точке 1/3 (считая от A), и в этот же момент отправляется первый плот.
Пешеход доходит до B (от 1/3 до 1) за время 2/3, разворачивается и идёт назад. До A от B расстояние равно 1, следовательно, он прибывает в A в момент времени:
t2=32+1=35.Условие прибытия 7-го плота. По условию, пешеход (в пункт A) и седьмой плот (в пункт B) прибыли одновременно. Седьмой плот отправляется в момент 6τ и достигает B через время 1/v. Получаем уравнение:
6τ+v1=35.(I)Условие прибытия последнего плота. После прибытия в A пешеход сразу идёт обратно в B и прибывает туда в момент 5/3+1=8/3. В этот же момент в пункт B прибывает последний (n-й) плот:
(n−1)τ+v1=38.(II)Вычитая уравнение (I) из (II), находим:
(n−7)τ=1⇒τ=n−71.Из уравнения (I) выразим скорость плотов:
v1=35−n−76=3(n−7)5(n−7)−18=3(n−7)5n−53⇒v=5n−533(n−7).Встреча с первым плотом. На обратном пути (из B в A) в момент t (где t=0 — старт 1-го плота) пешеход находится в точке 5/3−t. Первый плот в момент t находится в точке vt. Встреча происходит при:
vt=35−t⇒t=3(1+v)5.Расстояние от пункта B до точки встречи равно 1−vt:
1−v⋅3(1+v)5=3(1+v)3(1+v)−5v=3(1+v)3−2v.По условию, это расстояние более 3/13:
3(1+v)3−2v>133⇔13(3−2v)>9(1+v)⇔39−26v>9+9v⇔35v<30⇔v<76.Подставим выражение для v:
5n−533(n−7)<76⇒21(n−7)<6(5n−53)⇒21n−147<30n−318⇒9n>171⇒n>19.Так как n — целое, n⩾20.
Встреча с последним плотом. n-й плот в момент t находится в точке v(t−(n−1)τ). Встреча с пешеходом на пути из B в A:
v(t−(n−1)τ)=35−t⇒t(1+v)=35+v(n−1)τ.Расстояние от B в этот момент равно t−2/3:
1+v5/3+v(n−1)τ−32=1+v1−2v/3+v(n−1)τ.По условию, это расстояние более 9/10:
1+v1−2v/3+v(n−1)τ>109.Проверка значений n.
Если n=20, то v=39/47, τ=1/13:
1+47391−32⋅4739+4739⋅1319=47861−4726+4757=8678=4339≈0,907>0,9.Если n=21, то v=21/26, τ=1/14:
1+26211−32⋅2621+2621⋅1420=26471−137+1315=4742≈0,894<0,9.Таким образом, подходит только n=20.
Ответ: 20