Из пункта A в пункт B сплавляют по реке плоты, отправляя их через равные промежутки времени. Пешеход, идущий из A в B , прошёл треть пути от A к B к моменту отплытия первого плота. Дойдя до B , пешеход сразу отправился в A и встретил первый плот, пройдя более 3/13 пути от B к A , а последний плот он встретил, пройдя более 9/10 пути от B до A . Пешеход в пункт A и седьмой плот в пункт B прибыли одновременно. Из пункта A пешеход сразу вышел в B и прибыл туда одновременно с последним плотом. Сколько плотов отправлено из A в B ?

Пусть L = AB — расстояние между пунктами, u — скорость пешехода, v — скорость плотов, — интервал между отправлениями плотов, n — число плотов. Введём нормировку: L = 1 , u = 1 . Тогда время измеряется в единицах L/u . **Хронология.** В момент t = 0 пешеход находится в точке 1/3 (считая от A ), и в этот же момент отправляется первый плот. Пешеход доходит до B (от 1/3 до 1 ) за время 2/3 , разворачивается и идёт назад. До A от B расстояние равно 1 , следовательно, он прибывает в A в момент времени: t_2 = (2)/(3) + 1 = (5)/(3). **Условие прибытия 7-го плота.** По условию, пешеход (в пункт A ) и седьмой плот (в пункт B ) прибыли одновременно. Седьмой плот отправляется в момент 6 и достигает B через время 1/v . Получаем уравнение: 6 + (1)/(v) = (5)/(3). I **Условие прибытия последнего плота.** После прибытия в A пешеход сразу идёт обратно в B и прибывает туда в момент 5/3 + 1 = 8/3 . В этот же момент в пункт B прибывает последний ( n -й) плот: (n-1) + (1)/(v) = (8)/(3). II Вычитая уравнение (I) из (II), находим: (n-7) = 1 => = (1)/(n-7). Из уравнения (I) выразим скорость плотов: (1)/(v) = (5)/(3) - (6)/(n-7) = (5(n-7) - 18)/(3(n-7)) = (5n - 53)/(3(n-7)) => v = (3(n-7))/(5n - 53). **Встреча с первым плотом.** На обратном пути (из B в A ) в момент t (где t=0 — старт 1-го плота) пешеход находится в точке 5/3 - t . Первый плот в момент t находится в точке vt . Встреча происходит при: vt = (5)/(3) - t => t = (5)/(3(1+v)). Расстояние от пункта B до точки встречи равно 1 - vt : 1 - v * (5)/(3(1+v)) = (3(1+v) - 5v)/(3(1+v)) = (3 - 2v)/(3(1+v)). По условию, это расстояние более 3/13 : (3 - 2v)/(3(1+v)) > (3)/(13) <=> 13(3 - 2v) > 9(1+v) <=> 39 - 26v > 9 + 9v <=> 35v < 30 <=> v < (6)/(7). Подставим выражение для v : (3(n-7))/(5n-53) < (6)/(7) => 21(n-7) < 6(5n-53) => 21n - 147 < 30n - 318 => 9n > 171 => n > 19. Так как n — целое, n 20 . **Встреча с последним плотом.** n -й плот в момент t находится в точке v(t - (n-1)) . Встреча с пешеходом на пути из B в A : v(t - (n-1)) = (5)/(3) - t => t(1+v) = (5)/(3) + v(n-1). Расстояние от B в этот момент равно t - 2/3 : (5/3 + v(n-1))/(1+v) - (2)/(3) = (1 - 2v/3 + v(n-1))/(1+v). По условию, это расстояние более 9/10 : (1 - 2v/3 + v(n-1))/(1+v) > (9)/(10). **Проверка значений n .** Если n = 20 , то v = 39/47 , = 1/13 : (1 - 23 * 3947 + 3947 * 1913)/(1 + 3947) = (1 - 2647 + 5747)/(8647) = (78)/(86) = (39)/(43) ~ 0,907 > 0,9. Если n = 21 , то v = 21/26 , = 1/14 : (1 - 23 * 2126 + 2126 * 2014)/(1 + 2126) = (1 - 713 + 1513)/(4726) = (42)/(47) ~ 0,894 < 0,9. Таким образом, подходит только n = 20 . Ответ: 20

20