Задача №16905

Найдите наибольшее значение функции $y=x^3-\frac{48}{x^2}$ на отрезке $[-3;2]\text{.}$

Рассмотрим функцию $y=x^3-\frac{48}{x^2}\text{.}$ Область определения: $x\ne 0\text{.}$ При $x\to 0$ функция стремится к $-\infty \text{.}$

Найдем производную:

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

Определим знаки производной на отрезке $[-3;2]\setminus \{0\}\text{:}$
1. На промежутке $(-3;-2)\text{:}$ $y^{\prime }(-3)=27+\frac{96}{-27}=27-\frac{32}{9}>0$ — функция возрастает.
2. На промежутке $(-2;0)\text{:}$ $y^{\prime }(-1)=3+\frac{96}{-1}=-93<0$ — функция убывает.
3. На промежутке $(0;2)\text{:}$ при $x>0$ имеем $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Кандидатами на наибольшее значение являются точка локального максимума $x=-2$ и правый конец отрезка $x=2\text{.}$ Вычислим значения функции в характерных точках:

• $y(-3)=-27-\frac{48}{9}=-27-\frac{16}{3}=-\frac{97}{3}\approx -32,33\text{;}$
• $y(-2)=-8-\frac{48}{4}=-8-12=-20\text{;}$
• $y(2)=8-\frac{48}{4}=8-12=-4\text{.}$

Сравним полученные значения:

Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке $x=2$ и равно $-4\text{.}$

Ответ: -4