Задача №16903

Найдите значение выражения
$27^{{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt[6]{3}}+4\cdot 5^{{\log }_5^{2}2}-2^{{\log }_{5}2}\cdot {\log }_{2}16\text{.}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. Вычислим значение выражения в показателе первой степени:
${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt[6]{3}={\log }_{3^{1/2}}{3}^{1/6}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}\text{.}$
Тогда первое слагаемое равно $27^{1/3}=3\text{.}$

2. Преобразуем второе слагаемое. Пусть $t={\log }_{5}2\text{,}$ тогда $5^t=2\text{.}$ По свойству степени:
$5^{t^2}=(5^t{)}^t=2^t=2^{{\log }_{5}2}\text{.}$
Следовательно, $4\cdot 5^{{\log }_5^{2}2}=4\cdot 2^{{\log }_{5}2}\text{.}$

3. Вычислим третье слагаемое:
$2^{{\log }_{5}2}\cdot {\log }_{2}16=2^{{\log }_{5}2}\cdot 4=4\cdot 2^{{\log }_{5}2}\text{.}$

Итоговое выражение:

Ответ: 3.