Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC со стороной 4sqrt(2) . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2 . Точки E и D — середины рёбер BC и AB соответственно. а) Докажите, что угол между SE и CD равен 45^ . б) Найдите расстояние между прямыми SE и CD.

Пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной a = 4sqrt(2) ; D , E — середины рёбер AB и BC ; ребро SC (ABC) , SC = 2 . а) Докажем, что угол между SE и CD равен 45^ . 1. В равностороннем треугольнике ABC медиана DC совпадает с высотой: DC = (asqrt(3))/(2) = (4sqrt(2) * sqrt(3))/(2) = 2sqrt(6). 2. DE — средняя линия ABC , поэтому DE AC и DE = (a)/(2) = 2sqrt(2) . 3. Через точку E в плоскости ABC проведём прямую EK DC , K in AC . Четырёхугольник DCKE — параллелограмм, значит CK = DE = 2sqrt(2) и EK = DC = 2sqrt(6) . Кроме того, CE = (1)/(2)BC = 2sqrt(2) . 4. Поскольку SC (ABC) , прямоугольные треугольники SCE и SCK равны (по двум катетам: CE = CK = 2sqrt(2) и SC — общий), поэтому SE = SK = sqrt(CE^2 + SC^2) = sqrt((22)^2 + 2^2) = sqrt(8 + 4) = 2sqrt(3). 5. Угол между прямыми SE и CD равен углу между SE и параллельной CD прямой EK , то есть углу SEK . В треугольнике SEK : SE^2 + SK^2 = (2sqrt(3))^2 + (2sqrt(3))^2 = 12 + 12 = 24 = (2sqrt(6))^2 = EK^2, значит SEK — прямоугольный с прямым углом при S . Так как SE = SK , он равнобедренный, и SEK = SKE = 45^ . б) Найдем расстояние между SE и CD . 1. Так как CD EK и EK c (ESK) , то прямая CD параллельна плоскости ESK . Значит, (CD;SE) = (CD;(ESK)) = (C;(ESK)). 2. Пусть M — середина EK . В равнобедренном SEK медиана SM совпадает с высотой к гипотенузе, SM EK и SM = (EK)/(2) = sqrt(6) . Аналогично в равнобедренном CEK ( CE = CK = 2sqrt(2) ): CM EK . Следовательно, EK (SCM) . 3. В плоскости SCM опустим из C перпендикуляр CH на SM . Так как CH SM и CH EK , то CH (ESK) , и (C;(ESK)) = CH . 4. В SCM угол C — прямой ( SC (ABC) , CM c (ABC) ). Найдём CM из SCM : CM = sqrt(SM^2 - SC^2) = sqrt(6 - 2^2) = sqrt(2). 5. Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе: CH = (SC * CM)/(SM) = (2 * sqrt(2))/(sqrt(6)) = (2)/(sqrt(3)) = (2sqrt(3))/(3). Ответ: б) (2sqrt(3))/(3) .

Б) $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$