Задача №16902

Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC со стороной $4\sqrt{2}\text{.}$ Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно $2\text{.}$ Точки E и D — середины рёбер BC и AB соответственно.

а) Докажите, что угол между SE и CD равен $45^{\circ }\text{.}$
б) Найдите расстояние между прямыми SE и CD.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=4\sqrt{2}\text{;}$ $D\text{,}$ $E$ — середины рёбер $AB$ и $BC\text{;}$ ребро $SC\perp (ABC)\text{,}$ $SC=2\text{.}$

а) Докажем, что угол между $SE$ и $CD$ равен $45^{\circ }\text{.}$

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $DC$ совпадает с высотой:

$$DC=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}.$$

2. $DE$ — средняя линия $△ABC\text{,}$ поэтому $DE\parallel AC$ и $DE=\frac{a}{2}=2\sqrt{2}\text{.}$

3. Через точку $E$ в плоскости $ABC$ проведём прямую $EK\parallel DC\text{,}$ $K\in AC\text{.}$ Четырёхугольник $DCKE$ — параллелограмм, значит $CK=DE=2\sqrt{2}$ и $EK=DC=2\sqrt{6}\text{.}$ Кроме того, $CE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}\text{.}$

4. Поскольку $SC\perp (ABC)\text{,}$ прямоугольные треугольники $SCE$ и $SCK$ равны (по двум катетам: $CE=CK=2\sqrt{2}$ и $SC$ — общий), поэтому

$$SE=SK=\sqrt{C{E}^2+S{C}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{8+4}=2\sqrt{3}.$$

5. Угол между прямыми $SE$ и $CD$ равен углу между $SE$ и параллельной $CD$ прямой $EK\text{,}$ то есть углу $\angle SEK\text{.}$ В треугольнике $SEK\text{:}$

$$S{E}^2+S{K}^2=(2\sqrt{3}{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2=12+12=24=(2\sqrt{6}{)}^2=E{K}^2,$$

значит $△SEK$ — прямоугольный с прямым углом при $S\text{.}$ Так как $SE=SK\text{,}$ он равнобедренный, и $\angle SEK=\angle SKE=45^{\circ }\text{.}$

б) Найдем расстояние между $SE$ и $CD\text{.}$

1. Так как $CD\parallel EK$ и $EK\subset (ESK)\text{,}$ то прямая $CD$ параллельна плоскости $ESK\text{.}$ Значит,

$$\rho (CD;SE)=\rho (CD;(ESK))=\rho (C;(ESK)).$$

2. Пусть $M$ — середина $EK\text{.}$ В равнобедренном $△SEK$ медиана $SM$ совпадает с высотой к гипотенузе, $SM\perp EK$ и $SM=\frac{EK}{2}=\sqrt{6}\text{.}$ Аналогично в равнобедренном $△CEK$ ($CE=CK=2\sqrt{2}$): $CM\perp EK\text{.}$ Следовательно, $EK\perp (SCM)\text{.}$

3. В плоскости $SCM$ опустим из $C$ перпендикуляр $CH$ на $SM\text{.}$ Так как $CH\perp SM$ и $CH\perp EK\text{,}$ то $CH\perp (ESK)\text{,}$ и $\rho (C;(ESK))=CH\text{.}$

4. В $△SCM$ угол $C$ — прямой ($SC\perp (ABC)\text{,}$ $CM\subset (ABC)$). Найдём $CM$ из $△SCM\text{:}$

$$CM=\sqrt{S{M}^2-S{C}^2}=\sqrt{6-2^2}=\sqrt{2}.$$

5. Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе:

$$CH=\frac{SC\cdot CM}{SM}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ:

б) $\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{.}$