Решите уравнение 25 * 8^x - 40^x - 1,6 * 5^(x+1) + 200 = 0 .

Задача №16901: Простейшие уравнения

25 \cdot 8^{x} - 4 0^{x} - 1, 6 \cdot 5^{x + 1} + 200 = 0.

Преобразуем слагаемые:

1. $4 0^{x} = (8 \cdot 5)^{x} = 8^{x} \cdot 5^{x};$
2. $1, 6 \cdot 5^{x + 1} = 1, 6 \cdot 5 \cdot 5^{x} = 8 \cdot 5^{x} .$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

25 \cdot 8^{x} - 8^{x} \cdot 5^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 200 = 0.

Сгруппируем слагаемые:

8^{x} (25 - 5^{x}) + 8 (25 - 5^{x}) = 0;

(25 - 5^{x}) (8^{x} + 8) = 0.

Так как $8^{x} + 8 > 0$ при любом $x,$ второй множитель не равен нулю. Значит:

25 - 5^{x} = 0 \Leftrightarrow 5^{x} = 25 \Leftrightarrow 5^{x} = 5^{2} \Leftrightarrow x = 2.

Ответ: 2