Задача №16894

Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{.}$

Треугольники $AOB$ и $COB$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC\text{.}$ Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}=\frac{OC}{AO}=\frac{5}{4}.$$

Отсюда $S_{COB}=\frac{5}{4}\cdot 12=15\text{.}$

Аналогично, треугольники $AOD$ и $COD$ имеют общую высоту из $D$ на $AC\text{:}$

$$S_{COD}=\frac{OC}{AO}\cdot S_{AOD}=\frac{5}{4}\cdot 8=10.$$

Площадь четырёхугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{AOD}+S_{COB}+S_{COD}=12+8+15+10=45.$$

Ответ: $45\text{.}$