В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KM и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL , а длина стороны KN равна 4sqrt(3) . На стороне KN расположена точка A так, что LAK = MAN . Известно, что MKN - KNL = 15^ , LA : AM = 1 : sqrt(3) . а) Докажите, что MAL = 90^ . б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN .

а) Докажем, что MAL = 90^ . По условию KLN = KMN = 90^ , то есть треугольники KLN и KMN — прямоугольные с общей гипотенузой KN . Значит, точки L и M лежат на окружности с диаметром KN (по обратной теореме о вписанном угле). Пусть L' — точка, симметричная L относительно прямой KN . Тогда L' также лежит на этой окружности (т.к. KL'N = KLN = 90^ ). Обозначим KNL = alpha , тогда по условию MKN = alpha + 15^ . В прямоугольном KLN : LKN = 90^ - alpha . По симметрии L'KN = 90^ - alpha . Тогда L'KM = L'KN + NKM = (90^ - alpha) + (alpha + 15^) = 105^. По теореме синусов для L'KM , вписанного в окружность диаметра KN = 4sqrt(3) (то есть 2R = 4sqrt(3) ): L'M = 2R sin L'KM = 4sqrt(3) * sin 105^ = 4sqrt(3) * (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) = sqrt(18) + sqrt(6) = 3sqrt(2) + sqrt(6). По условию LA : AM = 1 : sqrt(3) , причём L'A = LA (симметрия). Значит, L'A + AM = L'M , и L'A = LA = (1)/(1 + sqrt(3))L'M = (3sqrt(2) + sqrt(6))/(1 + sqrt(3)) = sqrt(6), AM = sqrt(3) * LA = 3sqrt(2). По теореме о пересекающихся хордах ( L'M и KN пересекаются в A ): KA * AN = L'A * AM = sqrt(6) * 3sqrt(2) = 6sqrt(3). Также KA + AN = KN = 4sqrt(3) . Решаем систему: KA и AN — корни уравнения t^2 - 4sqrt(3)t + 6sqrt(3) = 0 . Получаем KA = 3sqrt(3) - 3 , AN = 3 + sqrt(3) . Пусть O — центр окружности (середина KN ), тогда AO = 2sqrt(3) - KA = 2sqrt(3) - 3sqrt(3) + 3 = 3 - sqrt(3) . OM = R = 2sqrt(3) . По теореме косинусов в AOM : OM^2 = AM^2 + AO^2 - 2 * AM * AO * cos MAO, 12 = 18 + (3-sqrt(3))^2 - 2 * 3sqrt(2) * (3-sqrt(3)) * cos MAO. После вычислений получаем cos MAO = (1)/(sqrt(2)) , откуда MAO = 45^ . Поскольку L' симметрична L относительно KN , угол LAO = L'AO , и из условия LAK = MAN имеем LAO = 45^ . Тогда MAL = MAO + LAO = 45^ + 45^ = 90^ . б) Площадь KLMN . Диагонали KM и LN пересекаются в точке A (по доказанному в п. а) под углом 45^ (так как MAN = 45^ ). Площадь четырёхугольника разобьём на три треугольника LAK , MAL , MAN : S_(KLMN) = S_(LAK) + S_(MAL) + S_(MAN) = (1)/(2)(AK * AL + AM * AN)sin 45^ + (1)/(2) AL * AM. Подставим: 1. AK * AL = (3sqrt(3) - 3) * sqrt(6) = 3sqrt(18) - 3sqrt(6) = 9sqrt(2) - 3sqrt(6) , 2. AM * AN = 3sqrt(2)(3 + sqrt(3)) = 9sqrt(2) + 3sqrt(6) , 3. сумма: 18sqrt(2) , 4. AL * AM = sqrt(6) * 3sqrt(2) = 6sqrt(3) . Итого: S_(KLMN) = (1)/(2) * 18sqrt(2) * (sqrt(2))/(2) + (1)/(2) * 6sqrt(3) = (18 * 2)/(4) + 3sqrt(3) = 9 + 3sqrt(3). Ответ: а) MAL = 90^ б) 9 + 3sqrt(3)

9 + 3√3