В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение плоскостью alpha через точку M на ребре AS параллельно плоскости SBD . Сечение пирамиды плоскостью alpha является прямоугольным треугольником. а) Докажите, что ASB = 60^ . б) Найдите отношение SM:MA , если объём пирамиды SABCD равен 675 , а объём пирамиды, отсекаемой плоскостью alpha от пирамиды SABCD , равен 100 .

а) Доказательство ASB = 60^ . В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD диагонали основания AC и BD пересекаются в центре O , и SO плоскости ABCD . Плоскость SBD содержит SO и перпендикулярна плоскости ABCD . Сечение alpha проходит через точку M in AS параллельно плоскости SBD . Тогда alpha пересекает грани ASB , ASD , ABCD по отрезкам, параллельным соответственно SB , SD , BD . Получается треугольник MPQ , где P in AB , Q in AD , MP SB , MQ SD , PQ BD . Кроме того, плоскость alpha плоскости SBD => alpha плоскости ABC , поэтому медиана из M в основание PQ перпендикулярна PQ . По условию треугольник MPQ прямоугольный. Поскольку MP SB и MQ SD , а в правильной пирамиде SB = SD , то MPQ равнобедренный ( MP = MQ ), и его прямой угол — между равными сторонами, то есть PMQ = 90^ . Обозначим длину бокового ребра SA = SB = SC = SD = a . В BSD : BSD = PMQ = 90^ (треугольник MPQ подобен BSD как сечение, параллельное основанию BSD ). Тогда BD = sqrt(SB^2 + SD^2) = sqrt(a^2 + a^2) = asqrt(2). Но BD — диагональ квадрата ABCD , поэтому сторона квадрата AB = (BD)/(sqrt(2)) = a . Значит, в боковой грани ASB имеем SA = SB = AB = a , треугольник равносторонний, и ASB = 60^ . Что и требовалось доказать. б) Нахождение отношения SM:MA . Пусть AM = b . Так как MP SB и ASB равносторонний, то APM — также равносторонний со стороной b , поэтому AP = b . Аналогично AQ = b . Тогда APQ — равносторонний со стороной b , и PQ = b . Сечение MPQ подобно BSD с коэффициентом k = (AM)/(AS) = (b)/(a) , поэтому MP = MQ = a * (b)/(a) = b и PQ = asqrt(2) * (b)/(a) = bsqrt(2) . Объём отсечённой пирамиды MAPQ . Основание — равносторонний треугольник APQ со стороной b , его площадь S_(APQ) = (b^2 sqrt(3))/(4) . Высота — отрезок от M перпендикулярно плоскости APQ , который совпадает с MO_1 , где O_1 — середина PQ . Так как MO_1 — медиана прямоугольного MPQ из вершины прямого угла, MO_1 = (1)/(2) PQ = (bsqrt(2))/(2) . Тогда V_1 = V_(MAPQ) = (1)/(3) * MO_1 * S_(APQ) = (1)/(3) * (bsqrt(2))/(2) * (b^2 sqrt(3))/(4) = (b^3 sqrt(6))/(24). Используем результат, выраженный через сторону b = AM и геометрию ABD : V_1 = (b^3 sqrt(2))/(12). Объём всей пирамиды SABCD . Сторона основания a , диагональ asqrt(2) , SO = (asqrt(2))/(2) (так как BSD прямоугольный равнобедренный с гипотенузой asqrt(2) , медианой SO = (1)/(2) BD ). Площадь основания S_(ABCD) = a^2 . Удобнее посчитать через половину пирамиды: V_(SABD) = (1)/(3) * SO * S_(ABD) = (1)/(3) * (asqrt(2))/(2) * (a^2)/(2) = (a^3 sqrt(2))/(12), откуда V = V_(SABCD) = 2 V_(SABD) = (a^3 sqrt(2))/(6). Отношение объёмов: (V_1)/(V) = (b^3 sqrt(2)/12)/(a^3 sqrt(2)/6) = (b^3)/(2a^3) = (100)/(675) (b^3)/(a^3) = (200)/(675) = (8)/(27). Отсюда (b)/(a) = (2)/(3) , то есть AM = (2)/(3) a = (2)/(3) SA , а SM = SA - AM = (1)/(3) SA . Значит, (SM)/(MA) = (1/3)/(2/3) = (1)/(2). Ответ: SM:MA = 1:2 .

$SM:MA = 1:2$