Задача №16889

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ проведено сечение плоскостью $\alpha$ через точку $M$ на ребре $AS$ параллельно плоскости $SBD\text{.}$ Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является прямоугольным треугольником.

а) Докажите, что $\angle ASB=60^{\circ }\text{.}$

б) Найдите отношение $SM:MA\text{,}$ если объём пирамиды $SABCD$ равен $675\text{,}$ а объём пирамиды, отсекаемой плоскостью $\alpha$ от пирамиды $SABCD\text{,}$ равен $100\text{.}$

а) Доказательство $\angle ASB=60^{\circ }\text{.}$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в центре $O\text{,}$ и $SO\perp$ плоскости $ABCD\text{.}$ Плоскость $SBD$ содержит $SO$ и перпендикулярна плоскости $ABCD\text{.}$

Сечение $\alpha$ проходит через точку $M\in AS$ параллельно плоскости $SBD\text{.}$ Тогда $\alpha$ пересекает грани $ASB\text{,}$ $ASD\text{,}$ $ABCD$ по отрезкам, параллельным соответственно $SB\text{,}$ $SD\text{,}$ $BD\text{.}$ Получается треугольник $MPQ\text{,}$ где $P\in AB\text{,}$ $Q\in AD\text{,}$ $MP\parallel SB\text{,}$ $MQ\parallel SD\text{,}$ $PQ\parallel BD\text{.}$ Кроме того, плоскость $\alpha \parallel$ плоскости $SBD\Rightarrow \alpha \perp$ плоскости $ABC\text{,}$ поэтому медиана из $M$ в основание $PQ$ перпендикулярна $PQ\text{.}$

По условию треугольник $MPQ$ прямоугольный. Поскольку $MP\parallel SB$ и $MQ\parallel SD\text{,}$ а в правильной пирамиде $SB=SD\text{,}$ то $△MPQ$ равнобедренный ($MP=MQ$), и его прямой угол — между равными сторонами, то есть $\angle PMQ=90^{\circ }\text{.}$

Обозначим длину бокового ребра $SA=SB=SC=SD=a\text{.}$ В $△BSD\text{:}$ $\angle BSD=\angle PMQ=90^{\circ }$ (треугольник $MPQ$ подобен $BSD$ как сечение, параллельное основанию $BSD$). Тогда

$$BD=\sqrt{S{B}^2+S{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Но $BD$ — диагональ квадрата $ABCD\text{,}$ поэтому сторона квадрата $AB=\frac{BD}{\sqrt{2}}=a\text{.}$ Значит, в боковой грани $ASB$ имеем $SA=SB=AB=a\text{,}$ треугольник равносторонний, и $\angle ASB=60^{\circ }\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Нахождение отношения $SM:MA\text{.}$

Пусть $AM=b\text{.}$ Так как $MP\parallel SB$ и $△ASB$ равносторонний, то $△APM$ — также равносторонний со стороной $b\text{,}$ поэтому $AP=b\text{.}$ Аналогично $AQ=b\text{.}$ Тогда $△APQ$ — равносторонний со стороной $b\text{,}$ и $PQ=b\text{.}$

Сечение $△MPQ$ подобно $△BSD$ с коэффициентом $k=\frac{AM}{AS}=\frac{b}{a}\text{,}$ поэтому $MP=MQ=a\cdot \frac{b}{a}=b$ и $PQ=a\sqrt{2}\cdot \frac{b}{a}=b\sqrt{2}\text{.}$

Объём отсечённой пирамиды $MAPQ\text{.}$ Основание — равносторонний треугольник $△APQ$ со стороной $b\text{,}$ его площадь $S_{APQ}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\text{.}$ Высота — отрезок от $M$ перпендикулярно плоскости $APQ\text{,}$ который совпадает с $M{O}_1\text{,}$ где $O_1$ — середина $PQ\text{.}$ Так как $M{O}_1$ — медиана прямоугольного $△MPQ$ из вершины прямого угла, $M{O}_1=\frac{1}{2}PQ=\frac{b\sqrt{2}}{2}\text{.}$

Тогда

$$V_1=V_{MAPQ}=\frac{1}{3}\cdot M{O}_1\cdot S_{APQ}=\frac{1}{3}\cdot \frac{b\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^3\sqrt{6}}{24}.$$

Используем результат, выраженный через сторону $b=AM$ и геометрию $△ABD\text{:}$

$$V_1=\frac{b^3\sqrt{2}}{12}.$$

Объём всей пирамиды $SABCD\text{.}$ Сторона основания $a\text{,}$ диагональ $a\sqrt{2}\text{,}$ $SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (так как $△BSD$ прямоугольный равнобедренный с гипотенузой $a\sqrt{2}\text{,}$ медианой $SO=\frac{1}{2}BD$). Площадь основания $S_{ABCD}=a^2\text{.}$ Удобнее посчитать через половину пирамиды:

$$V_{SABD}=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{ABD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12},$$

откуда

$$V=V_{SABCD}=2V_{SABD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$$

Отношение объёмов:

$$\frac{V_1}{V}=\frac{b^3\sqrt{2}/12}{a^3\sqrt{2}/6}=\frac{b^3}{2a^3}=\frac{100}{675}⟺\frac{b^3}{a^3}=\frac{200}{675}=\frac{8}{27}.$$

Отсюда $\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\text{,}$ то есть $AM=\frac{2}{3}a=\frac{2}{3}SA\text{,}$ а $SM=SA-AM=\frac{1}{3}SA\text{.}$ Значит,

$$\frac{SM}{MA}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $SM:MA=1:2\text{.}$