а) Решите уравнение sqrt(3)cos x - sin x = 2cos 5x . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(pi)/(2);(pi)/(2)] .

а) Решим уравнение sqrt(3)cos x - sin x = 2cos 5x . Разделим обе части на 2 : (sqrt(3))/(2)cos x - (1)/(2)sin x = cos 5x. Заметим, что (sqrt(3))/(2) = cos(pi)/(6) и (1)/(2) = sin(pi)/(6) : cos(pi)/(6)cos x - sin(pi)/(6)sin x = cos 5x; cos(x + (pi)/(6)) = cos 5x. Перейдём к разности и разложим по формуле - = -2sin(alpha+beta)/(2)sin(alpha-beta)/(2) : cos(x + (pi)/(6)) - cos 5x = 0; 2sin(3x + (pi)/(12))sin(2x - (pi)/(12)) = 0. Получаем совокупность: [arraylsin(3x + (pi)/(12)) = 0,[4pt] sin(2x - (pi)/(12)) = 0;array. [arrayl3x + (pi)/(12) = pi n, ninZ,[4pt] 2x - (pi)/(12) = pi k, kinZ;array. [arraylx = -(pi)/(36) + (pi n)/(3),[4pt] x = (pi)/(24) + (pi k)/(2).array. б) Отберём корни на отрезке [-(pi)/(2); (pi)/(2)] . Первая серия: -(pi)/(2) -(pi)/(36) + (pi n)/(3) (pi)/(2) . Умножим на (36)/(pi) : -18 -1 + 12n 18; -17 12n 19; -(17)/(12) n (19)/(12). Целые nin-1;0;1 , корни: x_1 = -(pi)/(36) - (pi)/(3) = -(13pi)/(36); x_2 = -(pi)/(36); x_3 = -(pi)/(36) + (pi)/(3) = (11pi)/(36). Вторая серия: -(pi)/(2) (pi)/(24) + (pi k)/(2) (pi)/(2) . Умножим на (24)/(pi) : -12 1 + 12k 12; -13 12k 11; -(13)/(12) k (11)/(12). Целые kin-1;0 , корни: x = (pi)/(24) - (pi)/(2) = -(11pi)/(24); x = (pi)/(24). Ответ: а) x = -(pi)/(36) + (pi n)/(3), ninZ ; x = (pi)/(24) + (pi k)/(2), kinZ . б) -(11pi)/(24); -(13pi)/(36); -(pi)/(36); (pi)/(24); (11pi)/(36) .

А) $x = -\dfrac{\pi}{36} + \dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};\quad x = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$. Б) $-\dfrac{11\pi}{24};\ -\dfrac{13\pi}{36};\ -\dfrac{\pi}{36};\ \dfrac{\pi}{24};\ \dfrac{11\pi}{36}$.