а) Решите уравнение sqrt(3)cos x - sin x = 2cos 5x . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(pi)/(2);(pi)/(2)] .

Задача №16888: Уравнения

а) Решим уравнение $3 cos x - sin x = 2 cos 5 x .$

Разделим обе части на $2 :$

\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x = cos 5 x .

Заметим, что $\frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}$ и $\frac{1}{2} = sin \frac{π}{6} :$

cos \frac{π}{6} cos x - sin \frac{π}{6} sin x = cos 5 x;

cos (x + \frac{π}{6}) = cos 5 x .

Перейдём к разности и разложим по формуле $cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2} :$

cos (x + \frac{π}{6}) - cos 5 x = 0;

2 sin (3 x + \frac{π}{12}) sin (2 x - \frac{π}{12}) = 0.

Получаем совокупность:

sin (3 x + \frac{π}{12}) = 0, sin (2 x - \frac{π}{12}) = 0; ⟺ 3 x + \frac{π}{12} = π n, n \in Z, 2 x - \frac{π}{12} = π k, k \in Z; ⟺ x = - \frac{π}{36} + \frac{π n}{3}, x = \frac{π}{24} + \frac{π k}{2} .

б) Отберём корни на отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$

Первая серия: $- \frac{π}{2} ⩽ - \frac{π}{36} + \frac{π n}{3} ⩽ \frac{π}{2} .$ Умножим на $\frac{36}{π} :$

- 18 ⩽ - 1 + 12 n ⩽ 18; - 17 ⩽ 12 n ⩽ 19; - \frac{17}{12} ⩽ n ⩽ \frac{19}{12} .

Целые $n \in {- 1; 0; 1},$ корни:

x_{1} = - \frac{π}{36} - \frac{π}{3} = - \frac{13 π}{36}; x_{2} = - \frac{π}{36}; x_{3} = - \frac{π}{36} + \frac{π}{3} = \frac{11 π}{36} .

Вторая серия: $- \frac{π}{2} ⩽ \frac{π}{24} + \frac{π k}{2} ⩽ \frac{π}{2} .$ Умножим на $\frac{24}{π} :$

- 12 ⩽ 1 + 12 k ⩽ 12; - 13 ⩽ 12 k ⩽ 11; - \frac{13}{12} ⩽ k ⩽ \frac{11}{12} .

Целые $k \in {- 1; 0},$ корни:

x = \frac{π}{24} - \frac{π}{2} = - \frac{11 π}{24}; x = \frac{π}{24} .

Ответ:

а) $x = - \frac{π}{36} + \frac{π n}{3}, n \in Z;$ $x = \frac{π}{24} + \frac{π k}{2}, k \in Z .$

б) $- \frac{11 π}{24}; - \frac{13 π}{36}; - \frac{π}{36}; \frac{π}{24}; \frac{11 π}{36} .$