Задача №16883

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Диагональ $AC$ лежит на биссектрисе угла $BAD$ и пересекается с диагональю $BD$ в точке $K\text{.}$
А) Докажите, что треугольники $ABC$ и $BKC$ подобны.
Б) Найдите $KC\text{,}$ если $DC=4\text{,}$ $AK=6\text{.}$

А) Доказательство подобия треугольников $ABC$ и $BKC\text{.}$

Вписанные углы $\angle CBD$ и $\angle CAD$ опираются на одну и ту же дугу $CD\text{,}$ поэтому равны: $\angle CBD=\angle CAD\text{.}$

Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD\text{,}$ то $\angle BAC=\angle CAD\text{.}$ Значит, $\angle BAC=\angle CBD=\angle KBC\text{.}$

В треугольниках $ABC$ и $BKC\text{:}$
1) $\angle BCA=\angle KCB$ — общий угол при вершине $C\text{;}$
2) $\angle BAC=\angle KBC$ (доказано выше).

Следовательно, треугольники $ABC$ и $BKC$ подобны по двум углам.

Б) Поиск $KC\text{,}$ если $DC=4\text{,}$ $AK=6\text{.}$

Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC\text{,}$ поэтому равны. Из условия $\angle BAC=\angle CAD$ и того, что $\angle CAD$ как вписанный равен $\angle CBD$ (опора на $CD$), получаем $\angle DBC=\angle BDC\text{,}$ то есть треугольник $BCD$ равнобедренный, и $BC=CD=4\text{.}$

Пусть $KC=x\text{,}$ тогда $AC=AK+KC=6+x\text{.}$

Из подобия $△ABC\sim △BKC$ (соответствие $A\leftrightarrow B\text{,}$ $B\leftrightarrow K\text{,}$ $C\leftrightarrow C$):

Отсюда $x(6+x)=16\text{,}$ то есть $x^2+6x-16=0\text{.}$ Корни: $x_1=2\text{,}$ $x_2=-8\text{.}$ С учётом $x>0$ имеем $KC=2\text{.}$

Ответ: Б) $KC=2\text{.}$