Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC лежит на биссектрисе угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K. А) Докажите, что треугольники ABC и BKC подобны. Б) Найдите KC, если DC = 4, AK = 6.

А) Доказательство подобия треугольников ABC и BKC. Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну и ту же дугу CD, поэтому равны: CBD = CAD. Так как AC — биссектриса угла BAD, то BAC = CAD. Значит, BAC = CBD = KBC. В треугольниках ABC и BKC: 1) BCA = KCB — общий угол при вершине C; 2) BAC = KBC (доказано выше). Следовательно, треугольники ABC и BKC подобны по двум углам. Б) Поиск KC, если DC = 4, AK = 6. Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну дугу BC, поэтому равны. Из условия BAC = CAD и того, что CAD как вписанный равен CBD (опора на CD), получаем DBC = BDC, то есть треугольник BCD равнобедренный, и BC = CD = 4. Пусть KC = x, тогда AC = AK + KC = 6 + x. Из подобия ABC BKC (соответствие A B, B K, C C): (BC)/(KC) = (AC)/(BC) <=> (4)/(x) = (6 + x)/(4). Отсюда x(6 + x) = 16, то есть x^2 + 6x - 16 = 0. Корни: x_1 = 2, x_2 = -8. С учётом x > 0 имеем KC = 2. Ответ: Б) KC = 2.

Б) $KC = 2$