Задача №16881

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x^2+2x+a^2+2a-5=2\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-ax\right),$$

где $f(t)=\frac{\sqrt[3]{(27t^2+4)(t+2)+32t}}{t-\sqrt{t^2}}\text{,}$ имеет единственное решение.

Упростим функцию $f(t)\text{.}$ Заметим, что

$$(27t^2+4)(t+2)+32t=27t^3+54t^2+36t+8=(3t+2{)}^3,$$

поэтому $\sqrt[3]{(27t^2+4)(t+2)+32t}=3t+2\text{.}$ Также $\sqrt{t^2}=|t|\text{.}$ Получаем

$$f(t)=\frac{3t+2}{t-|t|}.$$

Знаменатель равен нулю при $t⩾0$ и равен $2t$ при $t<0\text{,}$ поэтому $f$ определена лишь при $t<0$ и

$$f(t)=\frac{3t+2}{2t}=\frac{3}{2}+\frac{1}{t}.$$

Условие $\frac{1}{x}<0$ даёт $x<0\text{.}$ При этих $x$ имеем $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{2}+x\text{,}$ и исходное уравнение принимает вид

$$x^2+2x+a^2+2a-5=2\left(\frac{3}{2}+x-ax\right)⟺x^2+2ax+a^2+2a-8=0,(\ast )$$

причём $x<0\text{.}$

Дискриминант: $D=4a^2-4(a^2+2a-8)=8(4-a)\text{.}$

Случай 1. $D=0\text{,}$ то есть $a=4\text{.}$ Уравнение принимает вид $(x+4{)}^2=0\text{,}$ единственный корень $x=-4<0$ — подходит.

Случай 2. $D>0\text{,}$ то есть $a<4\text{.}$ У уравнения $(\ast )$ два различных корня $x_1<x_2\text{.}$ Требуется, чтобы ровно один был отрицательным. Возможны два варианта.

(а) $x_1<0<x_2\text{.}$ По теореме Виета $x_1{x}_2=a^2+2a-8=(a+4)(a-2)<0\text{,}$ откуда $a\in (-4;2)\text{.}$

(б) $x_1<0,x_2=0\text{.}$ Подстановка $x=0$ в $(\ast )$ даёт $a^2+2a-8=0\text{,}$ то есть $a=-4$ или $a=2\text{.}$

• При $a=-4$ уравнение принимает вид $x^2-8x=0\text{,}$ корни $0$ и $8$ — оба не отрицательны, не подходит.
• При $a=2$ уравнение принимает вид $x^2+4x=0\text{,}$ корни $0$ и $-4$ — один отрицательный, подходит.

Объединяя, получаем $a\in (-4;2]\cup \{4\}\text{.}$

Ответ: $(-4;2]\cup \{4\}\text{.}$