Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x^2 + 2x + a^2 + 2a - 5 = 2(f((1)/(x)) - ax), где f(t) = ([3](27 t^2 + 4)(t + 2) + 32 t)/(t - sqrt(t^2)) , имеет единственное решение.

Упростим функцию f(t) . Заметим, что (27t^2 + 4)(t + 2) + 32t = 27t^3 + 54t^2 + 36t + 8 = (3t + 2)^3, поэтому [3](27t^2 + 4)(t + 2) + 32t = 3t + 2 . Также sqrt(t^2) = |t| . Получаем f(t) = (3t + 2)/(t - |t|). Знаменатель равен нулю при t 0 и равен 2t при t < 0 , поэтому f определена лишь при t < 0 и f(t) = (3t + 2)/(2t) = (3)/(2) + (1)/(t). Условие (1)/(x) < 0 даёт x < 0 . При этих x имеем f((1)/(x)) = (3)/(2) + x , и исходное уравнение принимает вид x^2 + 2x + a^2 + 2a - 5 = 2((3)/(2) + x - ax) x^2 + 2ax + a^2 + 2a - 8 = 0, () причём x < 0 . Дискриминант: D = 4a^2 - 4(a^2 + 2a - 8) = 8(4 - a) . Случай 1. D = 0 , то есть a = 4 . Уравнение принимает вид (x + 4)^2 = 0 , единственный корень x = -4 < 0 — подходит. Случай 2. D > 0 , то есть a < 4 . У уравнения () два различных корня x_1 < x_2 . Требуется, чтобы ровно один был отрицательным. Возможны два варианта. (а) x_1 < 0 < x_2 . По теореме Виета x_1 x_2 = a^2 + 2a - 8 = (a + 4)(a - 2) < 0 , откуда a in (-4;2) . (б) x_1 < 0, x_2 = 0 . Подстановка x = 0 в () даёт a^2 + 2a - 8 = 0 , то есть a = -4 или a = 2 . - При a = -4 уравнение принимает вид x^2 - 8x = 0 , корни 0 и 8 — оба не отрицательны, не подходит. - При a = 2 уравнение принимает вид x^2 + 4x = 0 , корни 0 и -4 — один отрицательный, подходит. Объединяя, получаем a in (-4;2] U 4 . Ответ: (-4;2] U 4 .

a ∈ (-4; 2] ∪ {4}