В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины сторон SB и DC соответственно. Через центр основания пирамиды проведена плоскость alpha параллельно прямым AM и SK . А) Докажите, что alpha делит ребро BC в отношении 1 : 5 , считая от точки C . Б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является сечение пирамиды плоскостью alpha , а вершиной — точка A , если у пирамиды SABCD высота равна 12 , а сторона основания равна 8sqrt(3) .

Решение. А) Пусть AC n BD = O ; по свойству диагоналей квадрата AO = OC . По условию O in alpha , AM alpha , SK alpha . В треугольнике ACD отрезок OK соединяет середины сторон AC и CD , поэтому OK — средняя линия: OK = (1)/(2) AD , OK AD . Прямая OK пересекает AB в точке N ; так как OK AD BC , по теореме Фалеса N — середина AB . Значит, SN — медиана треугольника SAB . Пусть T — точка пересечения SN и AM (медиан треугольника SAB ). Тогда ST : TN = 2 : 1 . Положим TN = 2x , тогда ST = 4x , SN = 6x . Так как SK alpha и SK c (SOK) , прямая alpha n (SOK) параллельна SK . Проведём через O прямую l SK и пусть l n SN = F ; тогда F in alpha . В треугольнике SNK имеем O — середина NK , OF SK , поэтому по теореме Фалеса F — середина SN : SF = FN = 3x , и FT = FN - TN = x . Так как AM alpha и AM c (SAB) , прямая m = alpha n (SAB) параллельна AM и проходит через F . Пусть m n SA = E , m n SB = L , m пересекает прямую AB в точке R (на продолжении AB за точку A ). По теореме о пропорциональных отрезках: (AE)/(SE) = (FT)/(SF) = (x)/(3x) = (1)/(3), (LM)/(SM) = (FT)/(SF) = (1)/(3). Положим LM = y ; тогда SL = 3y , BM = SM = 4y , BL = LM + MB = 5y . Аналогично (AR)/(AB) = (1)/(4) : положим AR = a , тогда AB = 4a , BR = AR + AB = 5a . В плоскости ABC прямая RO пересекает AD в точке H и BC в точке P . Тогда H, E, L, P in alpha , и четырёхугольник HELP — искомое сечение. Треугольники AHO и CPO равны (по двум углам и стороне между ними: AO = OC , AOH = COP — вертикальные, OAH = OCP — накрест лежащие при AD BC и секущей AC ), откуда AH = CP . Треугольники ARH и BRP подобны по двум углам ( R — общий, RAH = RBP = 90^ ), поэтому (CP)/(BP) = (AH)/(BP) = (AR)/(BR) = (a)/(5a) = (1)/(5). Значит, плоскость alpha делит ребро BC в отношении CP : PB = 1 : 5 , считая от точки C . Что и требовалось доказать. Б) Объём всей пирамиды: V = (1)/(3) * AB^2 * SO = (1)/(3) * (8sqrt(3))^2 * 12 = (1)/(3) * 192 * 12 = 768. Плоскость SPH делит пирамиду SABCD на две пирамиды SABPH и SPCDH равных объёмов V_1 = (V)/(2) = 384 . Действительно, обе пирамиды имеют общую высоту SO , а их основания — трапеции ABPH и HPCD с равными площадями: основания трапеций AH = CP и BP = HD соответственно равны (см. часть А), а высоты обеих трапеций равны стороне основания AB = CD , поэтому S_(ABPH) = (1)/(2)(AH + BP) * AB = (1)/(2) * AD * AB = (1)/(2) S_(ABCD), S_(HPCD) = (1)/(2) S_(ABCD). Пирамиду SABPH разобьём на три тела: тетраэдр LABP , пирамиду AHELP (с основанием HELP и вершиной A ) и пирамиду SHELP (с основанием HELP и вершиной S ). Для тетраэдра LABP воспользуемся тем, что точка L лежит на ребре SB с (BL)/(SB) = (5)/(8) , поэтому расстояние от L до плоскости ABCD составляет (5)/(8) * SO . Кроме того, S_(ABP) = (1)/(2) * AB * BP = (1)/(2) * AB * (5)/(6) BC = (5)/(12) S_(ABCD) . Тогда (V_(LABP))/(V) = (S_(ABP))/(S_(ABCD)) * (BL)/(SB) = (5)/(12) * (5)/(8) = (25)/(96). Следовательно, V_(LABP) = (25)/(96) V и V_(AHELP) + V_(SHELP) = V_1 - V_(LABP) = (V)/(2) - (25 V)/(96) = (48 V - 25 V)/(96) = (23 V)/(96). Пирамиды AHELP и SHELP имеют общее основание HELP , а их вершины A и S лежат на прямой SA , причём плоскость HELP пересекает SA в точке E . Поэтому отношение расстояний от A и от S до плоскости сечения совпадает с отношением AE : SE = 1 : 3 , то есть (V_(AHELP))/(V_(SHELP)) = (AE)/(SE) = (1)/(3) =>V_(SHELP) = 3 V_(AHELP). Подставляя в сумму: 4 V_(AHELP) = (23 V)/(96) =>V_(AHELP) = (23 V)/(384) = (23 * 768)/(384) = 46. Ответ: б) 46

б) $46$