Задача №16880

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины сторон $SB$ и $DC$ соответственно. Через центр основания пирамиды проведена плоскость $\alpha$ параллельно прямым $AM$ и $SK\text{.}$

А) Докажите, что $\alpha$ делит ребро $BC$ в отношении $1:5\text{,}$ считая от точки $C\text{.}$
Б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является сечение пирамиды плоскостью $\alpha \text{,}$ а вершиной — точка $A\text{,}$ если у пирамиды $SABCD$ высота равна $12\text{,}$ а сторона основания равна $8\sqrt{3}\text{.}$

Решение.

А) Пусть $AC\cap BD=O\text{;}$ по свойству диагоналей квадрата $AO=OC\text{.}$ По условию $O\in \alpha \text{,}$ $AM\parallel \alpha \text{,}$ $SK\parallel \alpha \text{.}$

В треугольнике $ACD$ отрезок $OK$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD\text{,}$ поэтому $OK$ — средняя линия: $OK=\frac{1}{2}AD\text{,}$ $OK\parallel AD\text{.}$ Прямая $OK$ пересекает $AB$ в точке $N\text{;}$ так как $OK\parallel AD\parallel BC\text{,}$ по теореме Фалеса $N$ — середина $AB\text{.}$ Значит, $SN$ — медиана треугольника $SAB\text{.}$ Пусть $T$ — точка пересечения $SN$ и $AM$ (медиан треугольника $SAB$). Тогда $ST:TN=2:1\text{.}$ Положим $TN=2x\text{,}$ тогда $ST=4x\text{,}$ $SN=6x\text{.}$

Так как $SK\parallel \alpha$ и $SK\subset (SOK)\text{,}$ прямая $\alpha \cap (SOK)$ параллельна $SK\text{.}$ Проведём через $O$ прямую $l\parallel SK$ и пусть $l\cap SN=F\text{;}$ тогда $F\in \alpha \text{.}$ В треугольнике $SNK$ имеем $O$ — середина $NK\text{,}$ $OF\parallel SK\text{,}$ поэтому по теореме Фалеса $F$ — середина $SN\text{:}$ $SF=FN=3x\text{,}$ и $FT=FN-TN=x\text{.}$

Так как $AM\parallel \alpha$ и $AM\subset (SAB)\text{,}$ прямая $m=\alpha \cap (SAB)$ параллельна $AM$ и проходит через $F\text{.}$ Пусть $m\cap SA=E\text{,}$ $m\cap SB=L\text{,}$ $m$ пересекает прямую $AB$ в точке $R$ (на продолжении $AB$ за точку $A$). По теореме о пропорциональных отрезках:

$$\frac{AE}{SE}=\frac{FT}{SF}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3},\frac{LM}{SM}=\frac{FT}{SF}=\frac{1}{3}.$$

Положим $LM=y\text{;}$ тогда $SL=3y\text{,}$ $BM=SM=4y\text{,}$ $BL=LM+MB=5y\text{.}$ Аналогично $\frac{AR}{AB}=\frac{1}{4}\text{:}$ положим $AR=a\text{,}$ тогда $AB=4a\text{,}$ $BR=AR+AB=5a\text{.}$

В плоскости $ABC$ прямая $RO$ пересекает $AD$ в точке $H$ и $BC$ в точке $P\text{.}$ Тогда $H,E,L,P\in \alpha \text{,}$ и четырёхугольник $HELP$ — искомое сечение. Треугольники $△AHO$ и $△CPO$ равны (по двум углам и стороне между ними: $AO=OC\text{,}$ $\angle AOH=\angle COP$ — вертикальные, $\angle OAH=\angle OCP$ — накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$), откуда $AH=CP\text{.}$ Треугольники $△ARH$ и $△BRP$ подобны по двум углам ($\angle R$ — общий, $\angle RAH=\angle RBP=90^{\circ }$), поэтому

$$\frac{CP}{BP}=\frac{AH}{BP}=\frac{AR}{BR}=\frac{a}{5a}=\frac{1}{5}.$$

Значит, плоскость $\alpha$ делит ребро $BC$ в отношении $CP:PB=1:5\text{,}$ считая от точки $C\text{.}$ Что и требовалось доказать.

Б) Объём всей пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot A{B}^2\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot (8\sqrt{3}{)}^2\cdot 12=\frac{1}{3}\cdot 192\cdot 12=768.$$

Плоскость $SPH$ делит пирамиду $SABCD$ на две пирамиды $SABPH$ и $SPCDH$ равных объёмов $V_1=\frac{V}{2}=384\text{.}$ Действительно, обе пирамиды имеют общую высоту $SO\text{,}$ а их основания — трапеции $ABPH$ и $HPCD$ с равными площадями: основания трапеций $AH=CP$ и $BP=HD$ соответственно равны (см. часть А), а высоты обеих трапеций равны стороне основания $AB=CD\text{,}$ поэтому

$$S_{ABPH}=\frac{1}{2}(AH+BP)\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AB=\frac{1}{2}{S}_{ABCD},S_{HPCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.$$

Пирамиду $SABPH$ разобьём на три тела: тетраэдр $LABP\text{,}$ пирамиду $AHELP$ (с основанием $HELP$ и вершиной $A$) и пирамиду $SHELP$ (с основанием $HELP$ и вершиной $S$).

Для тетраэдра $LABP$ воспользуемся тем, что точка $L$ лежит на ребре $SB$ с $\frac{BL}{SB}=\frac{5}{8}\text{,}$ поэтому расстояние от $L$ до плоскости $ABCD$ составляет $\frac{5}{8}\cdot SO\text{.}$ Кроме того, $S_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{5}{6}BC=\frac{5}{12}{S}_{ABCD}\text{.}$ Тогда

$$\frac{V_{LABP}}{V}=\frac{S_{ABP}}{S_{ABCD}}\cdot \frac{BL}{SB}=\frac{5}{12}\cdot \frac{5}{8}=\frac{25}{96}.$$

Следовательно, $V_{LABP}=\frac{25}{96}V$ и

$$V_{AHELP}+V_{SHELP}=V_1-V_{LABP}=\frac{V}{2}-\frac{25V}{96}=\frac{48V-25V}{96}=\frac{23V}{96}.$$

Пирамиды $AHELP$ и $SHELP$ имеют общее основание $HELP\text{,}$ а их вершины $A$ и $S$ лежат на прямой $SA\text{,}$ причём плоскость $HELP$ пересекает $SA$ в точке $E\text{.}$ Поэтому отношение расстояний от $A$ и от $S$ до плоскости сечения совпадает с отношением $AE:SE=1:3\text{,}$ то есть

$$\frac{V_{AHELP}}{V_{SHELP}}=\frac{AE}{SE}=\frac{1}{3}\Rightarrow V_{SHELP}=3V_{AHELP}.$$

Подставляя в сумму:

$$4V_{AHELP}=\frac{23V}{96}\Rightarrow V_{AHELP}=\frac{23V}{384}=\frac{23\cdot 768}{384}=46.$$

Ответ:

б) $46$