Задача №16877

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_3(5x+6)\cdot {\log }_{5x+6}2}{{\log }_9(4x+5)}⩽1.$$

ОДЗ: $5x+6>0\text{,}$ $5x+6\ne 1\text{,}$ $4x+5>0\text{,}$ то есть $x>-\frac{6}{5}$ и $x\ne -1\text{.}$

Перейдём к натуральным логарифмам. Числитель упрощается:

$${\log }_3(5x+6)\cdot {\log }_{5x+6}2=\frac{\ln (5x+6)}{\ln 3}\cdot \frac{\ln 2}{\ln (5x+6)}=\frac{\ln 2}{\ln 3}.$$

Знаменатель: ${\log }_9(4x+5)=\frac{\ln (4x+5)}{2\ln 3}\text{.}$ Поэтому неравенство принимает вид

$$\frac{2\ln 2}{\ln (4x+5)}⩽1⟺\frac{\ln 4}{\ln (4x+5)}⩽1⟺\frac{\ln 4-\ln (4x+5)}{\ln (4x+5)-\ln 1}⩽0.$$

Так как $\ln t$ монотонно возрастает на $(0;+\infty )\text{,}$ знак разности логарифмов совпадает со знаком разности аргументов, поэтому при условии ОДЗ неравенство равносильно

$$\frac{4-(4x+5)}{(4x+5)-1}⩽0,\text{т.е.}\frac{-(4x+1)}{4(x+1)}⩽0,\text{или}\frac{4x+1}{x+1}⩾0.$$

Методом интервалов корни числителя и знаменателя $x=-\frac{1}{4}$ (включается) и $x=-1$ (исключается). Получаем $x\in (-\infty ;-1)\cup \left[-\frac{1}{4};+\infty \right)\text{.}$

Пересекая с ОДЗ $x>-\frac{6}{5}$ и $x\ne -1\text{,}$ приходим к ответу.

Ответ: $\left(-\frac{6}{5};-1\right)\cup \left[-\frac{1}{4};+\infty \right)\text{.}$