Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Функции и начала анализа
Ларин
Найдите наименьшее значение функции y=2cosx−sin2x на отрезке [−2π;2π].
Преобразуем функцию, используя sin2x=2sinxcosx:
y=2cosx−2sinxcosx=2cosx(1−sinx).Найдём производную:
y′=(2cosx)′(1−sinx)+2cosx(1−sinx)′=−2sinx(1−sinx)+2cosx(−cosx)= =−2sinx+2sin2x−2cos2x=−2sinx+2sin2x−2(1−sin2x)=4sin2x−2sinx−2.Заменой t=sinx имеем
y′=4t2−2t−2=2(2t2−t−1)=2(2t+1)(t−1).На отрезке [−2π;2π] значение t=sinx монотонно растёт от −1 до 1.
Корни y′=0: t=−21⇒x=−6π (внутри отрезка) и t=1⇒x=2π (правый конец).
Определим знаки y′:
1. При −2π⩽x<−6π: t<−21, значит (2t+1)<0, (t−1)<0, произведение >0 — функция возрастает.
2. При −6π<x<2π: t>−21 и t<1, значит (2t+1)>0, (t−1)<0, произведение <0 — функция убывает.
Точка x=−6π — максимум, наименьшее значение достигается на концах отрезка.
Вычислим значения на концах:
y(−2π)=2cos(−2π)−sin(−π)=2⋅0−0=0; y(2π)=2cos2π−sinπ=0−0=0.Оба конца дают y=0.
Ответ: 0.