Найдите наименьшее значение функции y = 2cos x - sin 2x на отрезке [-(pi)/(2);(pi)/(2)] .

Преобразуем функцию, используя sin 2x = 2sin xcos x : y = 2cos x - 2sin xcos x = 2cos x(1-sin x). Найдём производную: y' = (2cos x)'(1-sin x) + 2cos x(1-sin x)' = -2sin x(1-sin x) + 2cos x(-cos x) = = -2sin x + 2sin^(2)x - 2cos^(2)x = -2sin x + 2sin^(2)x - 2(1-sin^(2)x) = 4sin^(2)x - 2sin x - 2. Заменой t = sin x имеем y' = 4t^(2) - 2t - 2 = 2(2t^(2) - t - 1) = 2(2t+1)(t-1). На отрезке [-(pi)/(2);(pi)/(2)] значение t = sin x монотонно растёт от -1 до 1 . Корни y' = 0 : t = -(1)/(2) =>x = -(pi)/(6) (внутри отрезка) и t = 1 =>x = (pi)/(2) (правый конец). Определим знаки y' : 1. При -(pi)/(2) x < -(pi)/(6) : t < -(1)/(2) , значит (2t+1) < 0 , (t-1) < 0 , произведение > 0 — функция возрастает. 2. При -(pi)/(6) < x < (pi)/(2) : t > -(1)/(2) и t < 1 , значит (2t+1) > 0 , (t-1) < 0 , произведение < 0 — функция убывает. Точка x = -(pi)/(6) — максимум, наименьшее значение достигается на концах отрезка. Вычислим значения на концах: y(-(pi)/(2)) = 2cos(-(pi)/(2)) - sin(-pi) = 2* 0 - 0 = 0; y((pi)/(2)) = 2cos(pi)/(2) - = 0 - 0 = 0. Оба конца дают y = 0 . Ответ: 0.

0