Задача №16872

Окружность проходит через вершины $C$ и $D$ ромба $ABCD$ и касается стороны $AB\text{,}$ а также пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причём $BN:CN=4:5\text{.}$

а) Докажите, что $AM:MD=1:8\text{.}$
б) Найдите $CM\text{,}$ если сторона ромба равна 9.

Условие: $ABCD$ — ромб; окружность проходит через $C$ и $D\text{,}$ касается стороны $AB$ в некоторой точке $P$ и пересекает $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно; $BN:CN=4:5\text{;}$ сторона ромба равна $9\text{.}$

а) Доказательство $AM:MD=1:8\text{.}$

1. Обозначим $BN:NC=4:5\text{,}$ тогда $BN=4x\text{,}$ $NC=5x\text{,}$ $BC=9x\text{,}$ и сторона ромба $a=9x\text{.}$

2. Пусть $P$ — точка касания окружности и стороны $AB\text{.}$ Из вершины $B$ проведены секущая $BC$ (через точку $N$) и касательная $BP\text{.}$ По теореме о касательной и секущей:

$$B{P}^2=BN\cdot BC=4x\cdot 9x=36x^2\Rightarrow BP=6x.$$

Тогда $AP=AB-BP=9x-6x=3x\text{.}$

3. Аналогично из вершины $A\text{:}$ касательная $AP$ и секущая $AD$ (через точку $M$). По той же теореме

$$A{P}^2=AM\cdot AD;(3x{)}^2=AM\cdot 9x;AM=x.$$

Тогда $MD=AD-AM=9x-x=8x\text{,}$ и $AM:MD=x:8x=1:8\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Найти $CM\text{,}$ если сторона ромба равна $9\text{.}$

1. Подставив $9x=9\text{,}$ получаем $x=1\text{;}$ следовательно $NC=5\text{,}$ $MD=8\text{,}$ $AD=CD=9\text{.}$

2. Точки $M,N,C,D$ лежат на окружности; в ромбе $AD\parallel BC\text{,}$ поэтому $MN$ и $CD$ — две хорды, лежащие на параллельных прямых $AD$ и $BC\text{.}$ Точки $M\in AD\text{,}$ $D\in AD\text{,}$ $N\in BC\text{,}$ $C\in BC$ образуют четырёхугольник $MNCD\text{,}$ у которого $NC\parallel MD\text{.}$ Значит, $MNCD$ — трапеция.

3. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобокой, поэтому $MN=CD=9\text{.}$

4. Опустим из $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую $AD$ ($H\in AD$). В равнобокой трапеции $MNCD$ с основаниями $NC=5$ и $MD=8$ имеем

$$HD=\frac{MD-NC}{2}=\frac{8-5}{2}=1,5.$$

5. Высота:

$$CH=\sqrt{C{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{81-2,25}=\sqrt{78,75}.$$

6. $MH=MD-HD=8-1,5=6,5\text{.}$

7. В прямоугольном треугольнике $MCH\text{:}$

$$C{M}^2=M{H}^2+C{H}^2=6,5^2+78,75=42,25+78,75=121.$$

Значит $CM=11\text{.}$

Ответ:

б) $CM=11$