Окружность проходит через вершины C и D ромба ABCD и касается стороны AB , а также пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно, причём BN:CN = 4:5 . а) Докажите, что AM:MD = 1:8 . б) Найдите CM , если сторона ромба равна 9.

Условие: ABCD — ромб; окружность проходит через C и D , касается стороны AB в некоторой точке P и пересекает AD и BC в точках M и N соответственно; BN:CN = 4:5 ; сторона ромба равна 9 . а) Доказательство AM:MD = 1:8 . 1. Обозначим BN:NC = 4:5 , тогда BN = 4x , NC = 5x , BC = 9x , и сторона ромба a = 9x . 2. Пусть P — точка касания окружности и стороны AB . Из вершины B проведены секущая BC (через точку N ) и касательная BP . По теореме о касательной и секущей: BP^2 = BN* BC = 4x* 9x = 36x^2 => BP = 6x. Тогда AP = AB - BP = 9x - 6x = 3x . 3. Аналогично из вершины A : касательная AP и секущая AD (через точку M ). По той же теореме AP^2 = AM* AD; (3x)^2 = AM* 9x; AM = x. Тогда MD = AD - AM = 9x - x = 8x , и AM:MD = x:8x = 1:8 . Что и требовалось доказать. б) Найти CM , если сторона ромба равна 9 . 1. Подставив 9x = 9 , получаем x = 1 ; следовательно NC = 5 , MD = 8 , AD = CD = 9 . 2. Точки M, N, C, D лежат на окружности; в ромбе AD BC , поэтому MN и CD — две хорды, лежащие на параллельных прямых AD и BC . Точки Min AD , Din AD , Nin BC , Cin BC образуют четырёхугольник MNCD , у которого NC MD . Значит, MNCD — трапеция. 3. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобокой, поэтому MN = CD = 9 . 4. Опустим из C перпендикуляр CH на прямую AD ( Hin AD ). В равнобокой трапеции MNCD с основаниями NC = 5 и MD = 8 имеем HD = (MD - NC)/(2) = (8 - 5)/(2) = 1,5. 5. Высота: CH = sqrt(CD^2 - HD^2) = sqrt(81 - 2,25) = sqrt(78,75). 6. MH = MD - HD = 8 - 1,5 = 6,5 . 7. В прямоугольном треугольнике MCH : CM^2 = MH^2 + CH^2 = 6,5^2 + 78,75 = 42,25 + 78,75 = 121. Значит CM = 11 . Ответ: б) CM = 11

Б) $CM = 11$