Уравнение x^2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Найдите все p , если q = 36 . б) Найдите все q , если q + 2p = 37 . в) Найдите все корни уравнения, если q^3 - p^3 = 3887 .

Пусть a и b — два различных натуральных корня уравнения. По теореме Виета: a + b = -p, ab = q. а) q = 36 . Ищем все представления 36 = ab с a < b , a, b in N : 36 = 1 * 36 = 2 * 18 = 3 * 12 = 4 * 9. Пары (a, b) дают p = -(a + b) : 1. (1;36) : p = -37 ; 2. (2;18) : p = -20 ; 3. (3;12) : p = -15 ; 4. (4;9) : p = -13 . Значит, p in -37;-20;-15;-13 . б) q + 2p = 37 . Подставим q = ab и p = -(a + b) : ab - 2(a + b) = 37 <=>ab - 2a - 2b + 4 = 41 <=>(a - 2)(b - 2) = 41. Число 41 простое, поэтому в натуральных a < b единственная возможность: a - 2 = 1, b - 2 = 41 =>a = 3,b = 43. Тогда q = ab = 3 * 43 = 129 . в) q^3 - p^3 = 3887 . Разложим левую часть: (q - p)(q^2 + qp + p^2) = 3887. Разложение 3887 = 13^2 * 23 . Все возможные представления как произведения двух натуральных множителей: 3887 = 1 * 3887 = 13 * 299 = 23 * 169 = 169 * 23 = 299 * 13 = 3887 * 1. При натуральных a, b имеем q = ab > 0 и p = -(a + b) < 0 , поэтому q - p > 0 . Кроме того, q^2 + qp + p^2 = (q + p/2)^2 + 3p^2/4 > 0 . Заметим также, что в общем случае q - p меньше, чем q^2 + qp + p^2 , поэтому проверим варианты q - p in 1;13;23 . Подслучай q - p = 1 : q^2 + qp + p^2 = 3887 . Подставляя q = p + 1 , получаем 3p^2 + 3p - 3886 = 0 — нет целочисленных корней (дискриминант 9 + 12 * 3886 не полный квадрат). Подслучай q - p = 13 : q^2 + qp + p^2 = 299 . Подставляя q = p + 13 , получаем 3p^2 + 39p - 130 = 0 — нет целочисленных корней. Подслучай q - p = 23 : q^2 + qp + p^2 = 169 . Подставляя q = p + 23 , получаем 3p^2 + 3 * 23 p + 23^2 = 169 <=>3p^2 + 69p + 360 = 0 <=>p^2 + 23p + 120 = 0. Корни: p_1 = -15 , p_2 = -8 . Если p = -15 , то q = 8 . Уравнение x^2 - 15x + 8 = 0 — натуральных корней нет (по теореме Виета a + b = 15 , ab = 8 ; но 1 * 8 = 8 даёт сумму 9 != 15 ). Если p = -8 , то q = 15 . Уравнение x^2 - 8x + 15 = 0 имеет корни a = 3 , b = 5 (натуральные, различные — подходят). Ответ: а) p in -37;-20;-15;-13 б) q = 129 в) корни уравнения: 3 и 5

А) $p \in \{-37;\, -20;\, -15;\, -13\}$; Б) $q = 129$; В) корни: $3$ и $5$.