Уравнение x2+px+q=0 имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все p, если q=36.
б) Найдите все q, если q+2p=37.
в) Найдите все корни уравнения, если q3−p3=3887.
Пусть a и b — два различных натуральных корня уравнения. По теореме Виета:
a+b=−p,ab=q.а) q=36.
Ищем все представления 36=ab с a<b, a,b∈N:
36=1⋅36=2⋅18=3⋅12=4⋅9.Пары (a,b) дают p=−(a+b):
1. (1;36): p=−37;
2. (2;18): p=−20;
3. (3;12): p=−15;
4. (4;9): p=−13.
Значит, p∈{−37;−20;−15;−13}.
б) q+2p=37.
Подставим q=ab и p=−(a+b):
ab−2(a+b)=37⇔ab−2a−2b+4=41⇔(a−2)(b−2)=41.Число 41 простое, поэтому в натуральных a<b единственная возможность:
a−2=1,b−2=41⇒a=3,b=43.Тогда q=ab=3⋅43=129.
в) q3−p3=3887.
Разложим левую часть:
(q−p)(q2+qp+p2)=3887.Разложение 3887=132⋅23. Все возможные представления как произведения двух натуральных множителей:
3887=1⋅3887=13⋅299=23⋅169=169⋅23=299⋅13=3887⋅1.При натуральных a,b имеем q=ab>0 и p=−(a+b)<0, поэтому q−p>0. Кроме того, q2+qp+p2=(q+p/2)2+3p2/4>0. Заметим также, что в общем случае q−p меньше, чем q2+qp+p2, поэтому проверим варианты q−p∈{1;13;23}.
Подслучай q−p=1: q2+qp+p2=3887. Подставляя q=p+1, получаем 3p2+3p−3886=0 — нет целочисленных корней (дискриминант 9+12⋅3886 не полный квадрат).
Подслучай q−p=13: q2+qp+p2=299. Подставляя q=p+13, получаем 3p2+39p−130=0 — нет целочисленных корней.
Подслучай q−p=23: q2+qp+p2=169. Подставляя q=p+23, получаем
3p2+3⋅23p+232=169⇔3p2+69p+360=0⇔p2+23p+120=0.Корни: p1=−15, p2=−8.
Если p=−15, то q=8. Уравнение x2−15x+8=0 — натуральных корней нет (по теореме Виета a+b=15, ab=8; но 1⋅8=8 даёт сумму 9=15).
Если p=−8, то q=15. Уравнение x2−8x+15=0 имеет корни a=3, b=5 (натуральные, различные — подходят).
Ответ:
а) p∈{−37;−20;−15;−13}
б) q=129
в) корни уравнения: 3 и 5
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин