Задача №16869

12 января в банке планируется взять кредит 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 11-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 12-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую часть взятого кредита в соответствии с таблицей:

Найдите наибольшее целое значение $r\text{,}$ при котором общая сумма выплат будет составлять менее 2,13 млн рублей.

Обозначим долг (в млн руб.) на 12-е число каждого месяца:

$$L_0=1,L_1=0,6,L_2=0,5,L_3=0,4,L_4=0,2,L_5=0,1,L_6=0.$$

Обозначим коэффициент роста $q=1+\frac{r}{100}\text{.}$

Схема перехода от месяца $k-1$ к месяцу $k\text{:}$

• 1-го числа долг возрастает в $q$ раз: $L_{k-1}\cdot q\text{;}$
• со 2-го по 11-е число вносится платёж $P_k\text{;}$
• 12-го числа остаётся $L_k\text{.}$

Из баланса:

$$P_k=L_{k-1}\cdot q-L_k,k=1,2,\dots ,6.$$

Сумма всех платежей:

$$S=\sum _{k=1}^6{P}_k=q\cdot \sum _{k=0}^5{L}_k-\sum _{k=1}^6{L}_k.$$

Вычислим суммы:

$$\sum _{k=0}^5{L}_k=1+0,6+0,5+0,4+0,2+0,1=2,8;$$ $$\sum _{k=1}^6{L}_k=0,6+0,5+0,4+0,2+0,1+0=1,8.$$

Итого:

$$S=2,8q-1,8=2,8\left(1+\frac{r}{100}\right)-1,8.$$

Неравенство $S<2,13\text{:}$

$$2,8\left(1+\frac{r}{100}\right)-1,8<2,13\Rightarrow 2,8\left(1+\frac{r}{100}\right)<3,93\Rightarrow 1+\frac{r}{100}<\frac{3,93}{2,8}=\frac{393}{280}.$$

Вычислим:

$$\frac{393}{280}=1,40357142\dots ,$$

то есть $r<40,357\dots$

Наибольшее целое значение, удовлетворяющее этому условию, — $r=40\text{.}$

Проверка:

• $r=40\text{:}$ $S=2,8\cdot 1,40-1,8=3,92-1,8=2,12<2,13\text{.}$
• $r=41\text{:}$ $S=2,8\cdot 1,41-1,8=3,948-1,8=2,148>2,13\text{.}$

Ответ: $r=40\text{.}$