Задача №16865

Кондитерский магазин торгует тортами трёх размеров: большой торт, средний торт и маленький торт (пирожное). Средний торт получается из большого торта разрезанием на 4 части, пирожное тоже получается из среднего торта разрезанием на 4 части.

а) Испекли 15 больших тортов. Некоторые из них разрезали и получили средние торты. Несколько средних тортов разрезали и получили пирожные. Может ли всего получиться 80 тортов разных размеров? А 81 торт?

б) Большой торт стоит 100 рублей, средний торт стоит 30 рублей, пирожное стоит 10 рублей. Испекли несколько больших тортов. Как их разрезать, чтобы всех тортов разных размеров стало ровно в 7 раз больше, а их общая стоимость была максимальной?

в) После разрезания испечённых тортов оказалось, что получилось одинаковое количество тортов всех трёх типов. Какое наименьшее возможное количество больших тортов испекли?

Пусть изначально испекли $x$ больших тортов, из них $y$ разрезали на средние, а $z$ из получившихся средних разрезали на пирожные. Тогда после всех разрезаний имеется $x-y$ больших тортов, $4y-z$ средних и $4z$ пирожных, при условиях $0⩽y⩽x$ и $0⩽z⩽4y\text{.}$

а) При $x=15$ общее количество тортов всех размеров равно

$$(x-y)+(4y-z)+4z=x+3y+3z=15+3(y+z).$$

Число $80$ не делится на 3, поэтому получить 80 нельзя. А для 81 имеем $3(y+z)=66\text{,}$ то есть $y+z=22\text{;}$ например, $y=z=11$ удовлетворяет ограничениям ($y⩽15\text{,}$ $z⩽44$).

б) Условие «всего тортов стало в 7 раз больше, чем испекли» означает

$$x+3y+3z=7x⟺y+z=2x.(\ast )$$

Общая стоимость:

$$100(x-y)+30(4y-z)+10\cdot 4z=100x+20y+10z.$$

С учётом $(\ast )\text{:}$ $20y+10z=10y+10(y+z)=10y+20x\text{,}$ поэтому стоимость равна $120x+10y\text{.}$ При фиксированном $x$ она максимальна при наибольшем $y\text{.}$

Ограничения на $y\text{:}$ $y⩽x\text{,}$ а из $z=2x-y⩾0$ следует $y⩽2x\text{,}$ из $z⩽4y$ — $y⩾\frac{2x}{5}\text{.}$ Таким образом, $y\in \left[\frac{2x}{5};x\right]\text{,}$ максимум $y=x\text{.}$ Тогда $z=2x-x=x\text{,}$ и максимальная стоимость равна $130x\text{.}$

Значит, нужно разрезать все большие торты на средние ($y=x$) и такое же количество $x$ получившихся средних — на пирожные ($z=x$). Это даёт $0$ больших, $3x$ средних и $4x$ пирожных — всего $7x$ тортов общей стоимостью $130x$ рублей.

в) После разрезаний больших, средних и пирожных стало поровну:

$$\{\begin{array}{l}x-y=4y-z,\\ 4y-z=4z;\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=5y-z,\\ 4y=5z.\end{array}$$

Из второго $z=\frac{4y}{5}\text{,}$ поэтому $y$ кратно 5. Положим $y=5t\text{,}$ тогда $z=4t\text{,}$ $x=25t-4t=21t\text{,}$ $t\in \mathbb{N}\text{.}$

Наименьшее значение $x$ достигается при $t=1$ и равно $21\text{.}$

Ответ:

а) 80 — нет; 81 — да.

б) Разрезать все большие торты на средние и такое же количество получившихся средних (равное числу испечённых больших) — на пирожные; максимальная стоимость $130x$ рублей, где $x$ — число испечённых больших.

в) $21\text{.}$