Кондитерский магазин торгует тортами трёх размеров: большой торт, средний торт и маленький торт (пирожное). Средний торт получается из большого торта разрезанием на 4 части, пирожное тоже получается из среднего торта разрезанием на 4 части. а) Испекли 15 больших тортов. Некоторые из них разрезали и получили средние торты. Несколько средних тортов разрезали и получили пирожные. Может ли всего получиться 80 тортов разных размеров? А 81 торт? б) Большой торт стоит 100 рублей, средний торт стоит 30 рублей, пирожное стоит 10 рублей. Испекли несколько больших тортов. Как их разрезать, чтобы всех тортов разных размеров стало ровно в 7 раз больше, а их общая стоимость была максимальной? в) После разрезания испечённых тортов оказалось, что получилось одинаковое количество тортов всех трёх типов. Какое наименьшее возможное количество больших тортов испекли?

Пусть изначально испекли x больших тортов, из них y разрезали на средние, а z из получившихся средних разрезали на пирожные. Тогда после всех разрезаний имеется x - y больших тортов, 4y - z средних и 4z пирожных, при условиях 0 y x и 0 z 4y . а) При x = 15 общее количество тортов всех размеров равно (x - y) + (4y - z) + 4z = x + 3y + 3z = 15 + 3(y + z). Число 80 не делится на 3, поэтому получить 80 нельзя. А для 81 имеем 3(y + z) = 66 , то есть y + z = 22 ; например, y = z = 11 удовлетворяет ограничениям ( y 15 , z 44 ). б) Условие «всего тортов стало в 7 раз больше, чем испекли» означает x + 3y + 3z = 7x y + z = 2x. () Общая стоимость: 100(x - y) + 30(4y - z) + 10 * 4z = 100x + 20y + 10z. С учётом () : 20y + 10z = 10y + 10(y + z) = 10y + 20x , поэтому стоимость равна 120x + 10y . При фиксированном x она максимальна при наибольшем y . Ограничения на y : y x , а из z = 2x - y 0 следует y 2x , из z 4y — y (2x)/(5) . Таким образом, y in [(2x)/(5);x] , максимум y = x . Тогда z = 2x - x = x , и максимальная стоимость равна 130x . Значит, нужно разрезать все большие торты на средние ( y = x ) и такое же количество x получившихся средних — на пирожные ( z = x ). Это даёт 0 больших, 3x средних и 4x пирожных — всего 7x тортов общей стоимостью 130x рублей. в) После разрезаний больших, средних и пирожных стало поровну: cases x - y = 4y - z, 4y - z = 4z; cases cases x = 5y - z, 4y = 5z. cases Из второго z = (4y)/(5) , поэтому y кратно 5. Положим y = 5t , тогда z = 4t , x = 25t - 4t = 21t , t in N . Наименьшее значение x достигается при t = 1 и равно 21 . Ответ: а) 80 — нет; 81 — да. б) Разрезать все большие торты на средние и такое же количество получившихся средних (равное числу испечённых больших) — на пирожные; максимальная стоимость 130x рублей, где x — число испечённых больших. в) 21 .

А) 80 — нельзя, 81 — можно. Б) Все большие торты разрезать на средние, затем N средних — на пирожные; максимальная стоимость 130N руб. В) 21.