В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 C_1AA_1 = alpha, C_1AB = beta, C_1AD = gamma. А) Докажите, что cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1. Б) Найдите угол между прямой AC_1 и плоскостью A_1B_1C_1, если beta = 60^, gamma = 45^.

А) Доказательство тождества cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1. Пусть AC_1 = x. Так как параллелепипед прямоугольный, треугольники AA_1C_1, ABC_1, ADC_1 — прямоугольные (с прямыми углами при вершинах A_1, B, D соответственно), и в них: AA_1 = x , AB = x , AD = x . Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через рёбра: AC_1^2 = AA_1^2 + AB^2 + AD^2. Подставим: x^2 = x^2 cos^2alpha + x^2 cos^2beta + x^2 cos^2gamma. Разделив на x^2, получаем требуемое: cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1. Б) Угол между прямой AC_1 и плоскостью A_1B_1C_1 при beta = 60^, gamma = 45^. Так как AA_1 (A_1B_1C_1), проекцией точки A на плоскость A_1B_1C_1 является точка A_1. Значит, проекцией прямой AC_1 на эту плоскость служит прямая A_1C_1, и искомый угол — это угол AC_1A_1. Из доказанного в части А) тождества при beta = 60^ и gamma = 45^: cos^2alpha = 1 - cos^2 60^ - cos^2 45^ = 1 - (1)/(4) - (1)/(2) = (1)/(4). Угол alpha — острый (это угол между диагональю и боковым ребром), значит, = (1)/(2), alpha = 60^. В прямоугольном треугольнике AC_1A_1 с прямым углом при вершине A_1 сумма острых углов равна 90^, поэтому AC_1A_1 = 90^ - alpha = 90^ - 60^ = 30^. Ответ: Б) 30^

Б) $30^\circ$