Найдите значение выражения: 5^(_(1/5)((1)/(2))) + _(sqrt(2))((4)/(sqrt(7)+sqrt(3))) + _(1/2)((1)/(10+2sqrt(21)))

Обозначим выражение A + B + C и упростим каждое слагаемое. (A) Первое слагаемое. Заметим, что _(1/5)((1)/(2)) = (ln(1/2))/(ln(1/5)) = (-ln 2)/(-ln 5) = _(5) 2, поэтому 5^(_(1/5)(1/2)) = 5^(_(5) 2) = 2. (B) Второе слагаемое. Рационализируем знаменатель: (4)/(sqrt(7)+sqrt(3)) = (4(sqrt(7)-sqrt(3)))/((sqrt(7)+sqrt(3))(sqrt(7)-sqrt(3))) = (4(sqrt(7)-sqrt(3)))/(7-3) = sqrt(7)-sqrt(3). Заметим, что (sqrt(7)-sqrt(3))^2 = 7 - 2sqrt(21) + 3 = 10 - 2sqrt(21) > 0 , значит sqrt(7)-sqrt(3) = sqrt(10-221). Тогда _(sqrt(2))(sqrt(10-221)) = 2_(2)(sqrt(10-221)) = _(2)(10-2sqrt(21)). (C) Третье слагаемое. Используем _(1/2) x = -_(2) x : _(1/2)(1)/(10+2sqrt(21)) = -_(2)(1)/(10+2sqrt(21)) = _(2)(10+2sqrt(21)). Сумма B + C : _(2)(10-2sqrt(21)) + _(2)(10+2sqrt(21)) = _(2)((10-2sqrt(21))(10+2sqrt(21))). По формуле разности квадратов: (10-2sqrt(21))(10+2sqrt(21)) = 100 - 4 * 21 = 100 - 84 = 16, так что B + C = _(2) 16 = 4 . Итого: A + B + C = 2 + 4 = 6 . Ответ: 6

6