Задача №16856

Найдите значение выражения:

$$5^{{\log }_{1/5}\left(\frac{1}{2}\right)}+{\log }_{\sqrt{2}}\left(\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)+{\log }_{1/2}\left(\frac{1}{10+2\sqrt{21}}\right)$$

Обозначим выражение $A+B+C$ и упростим каждое слагаемое.

(A) Первое слагаемое. Заметим, что

$${\log }_{1/5}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\ln (1/2)}{\ln (1/5)}=\frac{-\ln 2}{-\ln 5}={\log }_{5}2,$$

поэтому

$$5^{{\log }_{1/5}(1/2)}=5^{{\log }_{5}2}=2.$$

(B) Второе слагаемое. Рационализируем знаменатель:

$$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\sqrt{7}-\sqrt{3}.$$

Заметим, что $(\sqrt{7}-\sqrt{3}{)}^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}>0\text{,}$ значит

$$\sqrt{7}-\sqrt{3}=\sqrt{10-2\sqrt{21}}.$$

Тогда

$${\log }_{\sqrt{2}}\left(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\right)=2{\log }_2\left(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\right)={\log }_2(10-2\sqrt{21}).$$

(C) Третье слагаемое. Используем ${\log }_{1/2}x=-{\log }_{2}x\text{:}$

$${\log }_{1/2}\frac{1}{10+2\sqrt{21}}=-{\log }_2\frac{1}{10+2\sqrt{21}}={\log }_2(10+2\sqrt{21}).$$

Сумма $B+C\text{:}$

$${\log }_2(10-2\sqrt{21})+{\log }_2(10+2\sqrt{21})={\log }_2((10-2\sqrt{21})(10+2\sqrt{21})).$$

По формуле разности квадратов:

$$(10-2\sqrt{21})(10+2\sqrt{21})=100-4\cdot 21=100-84=16,$$

так что $B+C={\log }_{2}16=4\text{.}$

Итого: $A+B+C=2+4=6\text{.}$

Ответ: $6$