Задача №16855

Решите неравенство:

$${\log }_2(3^{2x-1}-1)\cdot {\log }_3(2^{3x-4}+5)-2{\log }_2(3^{2x-1}-1)-3{\log }_3(2^{3x-4}+5)⩾-6.$$

ОДЗ. $3^{2x-1}-1>0\iff 3^{2x-1}>3^0\iff 2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}\text{.}$ (Выражение $2^{3x-4}+5>0$ всегда.)

Обозначим $u={\log }_2(3^{2x-1}-1)$ и $v={\log }_3(2^{3x-4}+5)\text{.}$ Перепишем неравенство:

$$uv-2u-3v+6⩾0;$$ $$u(v-2)-3(v-2)⩾0;$$ $$(v-2)(u-3)⩾0.$$

Случай 1. $v-2⩾0$ и $u-3⩾0\text{:}$

$${\log }_3(2^{3x-4}+5)⩾2\iff 2^{3x-4}+5⩾9\iff 2^{3x-4}⩾4\iff 3x-4⩾2\iff x⩾2;$$ $${\log }_2(3^{2x-1}-1)⩾3\iff 3^{2x-1}-1⩾8\iff 3^{2x-1}⩾9\iff 2x-1⩾2\iff x⩾\frac{3}{2}.$$

Пересечение: $x⩾2\text{.}$

Случай 2. $v-2⩽0$ и $u-3⩽0\text{:}$

$$2^{3x-4}+5⩽9\iff 3x-4⩽2\iff x⩽2;$$ $$3^{2x-1}-1⩽8\iff 2x-1⩽2\iff x⩽\frac{3}{2}.$$

Пересечение: $x⩽\frac{3}{2}\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>\frac{1}{2}$ получаем $x\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\text{.}$

Объединение случаев:

$$x\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\cup [2;+\infty ).$$

Ответ: $x\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\cup [2;+\infty )\text{.}$