Задача №16852

Найдите наибольшее значение функции $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^3-3x^2+13}$ на отрезке $[-2;12]\text{.}$

Функция $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^u\text{,}$ где $u=x^3-3x^2+13\text{,}$ убывает по $u$ (так как основание $0<\frac{1}{3}<1$). Значит, $y$ принимает наибольшее значение там, где $u$ принимает наименьшее.

Исследуем $u(x)=x^3-3x^2+13$ на отрезке $[-2;12]\text{:}$

Нули производной: $x=0$ и $x=2\text{.}$ На отрезке $[-2;12]\text{:}$ $u^{\prime }<0$ при $x\in (0;2)$ и $u^{\prime }>0$ при $x\in (-2;0)\cup (2;12)\text{.}$ Точки минимума $u$ — это $x=2$ (локальный) и левый конец $x=-2\text{.}$

Вычислим значения:

• $u(-2)=(-2{)}^3-3\cdot (-2{)}^2+13=-8-12+13=-7;$
• $u(2)=8-12+13=9.$

Наименьшее значение $u$ на отрезке равно $-7$ (в $x=-2$). Тогда

Ответ: 2187.