Задача №16851

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{(x^2-4x-5+a)\cdot (x^3+5(x^2+a^2)-(x-a)(ax+1)-a^3-5)}{a|x|+x|a|}=0$$

имеет ровно два различных корня.

Исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(x^2-4x-5+a)(x^3+5(x^2+a^2)-(x-a)(ax+1)-a^3-5)=0,\\ a|x|+x|a|\ne 0.\end{array}$$

1) Условие знаменателя $a|x|+x|a|\ne 0\text{.}$

Если $x=0$ или $a=0\text{,}$ то $a|x|+x|a|=0\text{,}$ поэтому требуется $x\ne 0$ и $a\ne 0\text{.}$ При $x>0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ выражение равно $x(a+|a|)\text{;}$ оно ненулевое тогда и только тогда, когда $a>0\text{.}$ При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ выражение равно $x(|a|-a)\text{;}$ оно ненулевое тогда и только тогда, когда $a<0\text{.}$ Итог: условие равносильно $ax>0\text{.}$

2) Преобразуем второй множитель числителя:

$$x^3+5(x^2+a^2)-(x-a)(ax+1)-a^3-5=(x^3-a^3)-(x-a)(ax+1)+5(x^2+a^2-1).$$

Используем $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)\text{:}$

$$(x-a)(x^2+ax+a^2)-(x-a)(ax+1)+5(x^2+a^2-1)=(x-a)(x^2+a^2-1)+5(x^2+a^2-1)=$$ $$=(x^2+a^2-1)(x-a+5).$$

Поэтому второй множитель равен нулю при $x^2+a^2=1$ либо $a=x+5\text{.}$

3) Первый множитель $x^2-4x-5+a=0$ даёт $a=-(x-2{)}^2+9$ — параболу с вершиной $A(2;9)\text{,}$ ветви вниз; нули $x=-1$ и $x=5\text{.}$

4) Графический анализ системы.

На координатной плоскости $xOa$ изображаем три кривые и оставляем только их пересечения с областью $ax>0$ (I и III координатные углы, без границ — то есть исключая оси).

• Парабола $a=-(x-2{)}^2+9\text{:}$ вершина $(2;9)\text{,}$ проходит через $(0;5)\text{,}$ $(-1;0)\text{,}$ $(5;0)\text{.}$
• Прямая $a=x+5\text{:}$ проходит через $(-5;0)$ и $(0;5)\text{.}$ Пересечения с параболой: решая систему

$$\{\begin{array}{l}a=-(x-2{)}^2+9,\\ a=x+5,\end{array}$$

приходим к $x(x-3)=0\text{,}$ точки $B(0;5)$ и $C(3;8)\text{.}$

• Окружность $x^2+a^2=1\text{:}$ радиус $1$ с центром в начале координат; пересекает оси в $(\pm 1;0)$ и $(0;\pm 1)\text{.}$

Запрещены границы: точки на осях ($x=0$ или $a=0$) не подходят.

5) Подсчёт количества корней при разных значениях $a=a_0\text{.}$

Количество решений уравнения равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=a_0$ с разрешённой частью графика. Перебирая $a_0$ сверху вниз и анализируя расположение прямой, параболы и окружности в I и III квадрантах:

• $a>9\text{:}$ парабола ниже, прямая даёт $1$ точку — итого $1\text{.}$
• $a=9\text{:}$ прямая касается параболы в вершине $(2;9)$ — даёт одну точку, ещё одна — на прямой $a=x+5\text{,}$ $x=4\text{.}$ Итого $2\text{.}$
• $8<a<9\text{:}$ парабола даёт $2$ точки в I квадранте, прямая — $1\text{.}$ Итого $3\text{.}$
• $a=8\text{:}$ точки параболы и прямой совпадают в $C(3;8)$ — итого $2\text{.}$
• $5<a<8\text{:}$ парабола $2\text{,}$ прямая $1\text{.}$ Итого $3\text{.}$
• $a=5\text{:}$ точки $B(0;5)$ исключены (граница), парабола даёт ещё $1$ точку. Итого $1\text{.}$
• $1<a<5\text{:}$ только прямая в I квадранте — $1$ точка.
• $a=1\text{:}$ прямая $1\text{,}$ окружность даёт пограничную точку $(0;1)$ (исключено). Итого $1\text{.}$
• $0<a<1\text{:}$ окружность даёт $2$ точки в I квадранте; прямая, парабола — оценка показывает, что в I квадранте на этом интервале они не дают новых точек ($a<5$ и парабола в I квадранте при $a⩾5$). Итого $2\text{.}$
• $a=0\text{:}$ исключено условием $ax>0\text{.}$
• $-1<a<0\text{:}$ окружность даёт $2$ точки в III квадранте, плюс ветви параболы и прямая в III квадранте дают $1$ точку. Подробный подсчёт даёт $3$ точки.
• $a=-1\text{:}$ окружность касается оси в $(0;-1)$ — точка исключена; парабола (в III квадранте $a<0$ парабола не существует — она лежит выше при $-1⩽x⩽5\text{,}$ а ниже только при $x<-1$ или $x>5\text{,}$ где в III квадранте $a<0$ возможно при $x<-1$); прямая в III квадранте даёт $1$ точку. Итого $2\text{.}$
• $a<-1\text{:}$ окружности нет; парабола даёт $1$ точку при $x<-1$ и прямая $a=x+5$ даёт $1$ точку при $x<-5\text{.}$ Итого $2\text{.}$

6) Ответ. Условие «ровно два различных корня» выполняется при $a\in (-\infty ;-1]\cup (0;1)\cup \{8;9\}\text{.}$

Ответ: $a\in (-\infty ;-1]\cup (0;1)\cup \{8;9\}\text{.}$