Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение ((x^2 - 4x - 5 + a)*(x^3 + 5(x^2 + a^2) - (x - a)(ax + 1) - a^3 - 5))/(a|x| + x|a|) = 0 имеет ровно два различных корня.

Исходное уравнение равносильно системе cases (x^2 - 4x - 5 + a)(x^3 + 5(x^2 + a^2) - (x-a)(ax+1) - a^3 - 5) = 0, a|x| + x|a| != 0. cases 1) Условие знаменателя a|x| + x|a|!= 0 . Если x = 0 или a = 0 , то a|x| + x|a| = 0 , поэтому требуется x!= 0 и a!= 0 . При x>0 : |x|=x , выражение равно x(a + |a|) ; оно ненулевое тогда и только тогда, когда a > 0 . При x<0 : |x| = -x , выражение равно x(|a| - a) ; оно ненулевое тогда и только тогда, когда a < 0 . Итог: условие равносильно ax > 0 . 2) Преобразуем второй множитель числителя: x^3 + 5(x^2 + a^2) - (x-a)(ax+1) - a^3 - 5 = (x^3 - a^3) - (x-a)(ax+1) + 5(x^2 + a^2 - 1). Используем x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2) : (x-a)(x^2+ax+a^2) - (x-a)(ax+1) + 5(x^2+a^2-1) = (x-a)(x^2 + a^2 - 1) + 5(x^2+a^2-1) = = (x^2 + a^2 - 1)(x - a + 5). Поэтому второй множитель равен нулю при x^2 + a^2 = 1 либо a = x + 5 . 3) Первый множитель x^2 - 4x - 5 + a = 0 даёт a = -(x-2)^2 + 9 — параболу с вершиной A(2;9) , ветви вниз; нули x = -1 и x = 5 . 4) Графический анализ системы. На координатной плоскости xOa изображаем три кривые и оставляем только их пересечения с областью ax > 0 (I и III координатные углы, без границ — то есть исключая оси). - Парабола a = -(x-2)^2 + 9 : вершина (2;9) , проходит через (0;5) , (-1;0) , (5;0) . - Прямая a = x + 5 : проходит через (-5;0) и (0;5) . Пересечения с параболой: решая систему cases a = -(x-2)^2 + 9, a = x+5, cases приходим к x(x-3)=0 , точки B(0;5) и C(3;8) . - Окружность x^2 + a^2 = 1 : радиус 1 с центром в начале координат; пересекает оси в (+- 1;0) и (0;+- 1) . Запрещены границы: точки на осях ( x=0 или a=0 ) не подходят. 5) Подсчёт количества корней при разных значениях a = a_0 . Количество решений уравнения равно числу точек пересечения горизонтальной прямой a = a_0 с разрешённой частью графика. Перебирая a_0 сверху вниз и анализируя расположение прямой, параболы и окружности в I и III квадрантах: - a > 9 : парабола ниже, прямая даёт 1 точку — итого 1 . - a = 9 : прямая касается параболы в вершине (2;9) — даёт одну точку, ещё одна — на прямой a = x + 5 , x = 4 . Итого 2 . - 8 < a < 9 : парабола даёт 2 точки в I квадранте, прямая — 1 . Итого 3 . - a = 8 : точки параболы и прямой совпадают в C(3;8) — итого 2 . - 5 < a < 8 : парабола 2 , прямая 1 . Итого 3 . - a = 5 : точки B(0;5) исключены (граница), парабола даёт ещё 1 точку. Итого 1 . - 1 < a < 5 : только прямая в I квадранте — 1 точка. - a = 1 : прямая 1 , окружность даёт пограничную точку (0;1) (исключено). Итого 1 . - 0 < a < 1 : окружность даёт 2 точки в I квадранте; прямая, парабола — оценка показывает, что в I квадранте на этом интервале они не дают новых точек ( a < 5 и парабола в I квадранте при a 5 ). Итого 2 . - a = 0 : исключено условием ax>0 . - -1 < a < 0 : окружность даёт 2 точки в III квадранте, плюс ветви параболы и прямая в III квадранте дают 1 точку. Подробный подсчёт даёт 3 точки. - a = -1 : окружность касается оси в (0;-1) — точка исключена; парабола (в III квадранте a<0 парабола не существует — она лежит выше при -1 x 5 , а ниже только при x<-1 или x>5 , где в III квадранте a<0 возможно при x<-1 ); прямая в III квадранте даёт 1 точку. Итого 2 . - a < -1 : окружности нет; парабола даёт 1 точку при x<-1 и прямая a = x+5 даёт 1 точку при x<-5 . Итого 2 . 6) Ответ. Условие «ровно два различных корня» выполняется при ain(-inf;-1]U(0;1)U8;9 . Ответ: ain(-inf;-1]U(0;1)U8;9 .

$a\in(-\infty;\,-1]\cup(0;\,1)\cup\{8;\,9\}$