Задача №16850

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK=KM=AM=AC\text{.}$ Во сколько раз угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ меньше угла при вершине $C\text{.}$

Обозначим $\angle ABC=\beta \text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC\text{,}$ то $\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ }-\beta }{2}\text{.}$

Треугольник $BKM\text{.}$ Дано $BK=KM\text{.}$ Равные стороны $BK$ и $KM$ выходят из общей вершины $K\text{,}$ значит углы, противолежащие им, равны: $\angle KBM=\angle KMB=\beta \text{.}$ Тогда $\angle BKM=180^{\circ }-2\beta \text{.}$

Так как $A,K,B$ — на одной прямой ($K$ на $AB$), то $\angle AKM=180^{\circ }-\angle BKM=2\beta \text{.}$

Треугольник $AKM\text{.}$ Дано $AM=KM\text{.}$ Равные стороны $AM$ и $KM$ выходят из общей вершины $M\text{,}$ значит $\angle MAK=\angle MKA=2\beta \text{.}$ Следовательно, $\angle AMK=180^{\circ }-4\beta \text{.}$

Точка $M$ лежит на отрезке $BC\text{,}$ значит $\angle AMB$ и $\angle AMC$ — смежные: $\angle AMB+\angle AMC=180^{\circ }\text{.}$

С одной стороны, $\angle AMB=\angle AMK+\angle KMB=(180^{\circ }-4\beta )+\beta =180^{\circ }-3\beta \text{.}$

Треугольник $AMC\text{.}$ Дано $AM=AC\text{.}$ Равнобедренный треугольник с равными сторонами $AM$ и $AC\text{,}$ выходящими из $A\text{.}$ Углы при основании $MC$ равны: $\angle ACM=\angle AMC\text{.}$ Поскольку $M\in BC\text{,}$ имеем $\angle ACM=\angle ACB=\frac{180^{\circ }-\beta }{2}\text{.}$ Тогда $\angle AMC=\frac{180^{\circ }-\beta }{2}\text{.}$

Из $\angle AMB+\angle AMC=180^{\circ }\text{:}$

Упрощаем: $-3\beta +90^{\circ }-\beta /2=0\text{,}$ откуда $7\beta /2=90^{\circ }\text{,}$ $\beta =\frac{180^{\circ }}{7}\text{.}$

Тогда $\angle ACB=\frac{180^{\circ }-180^{\circ }/7}{2}=\frac{540^{\circ }}{7}\text{.}$

Отношение: $\frac{\angle ACB}{\angle ABC}=\frac{540^{\circ }/7}{180^{\circ }/7}=3\text{.}$

Ответ: 3.