На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяли точки K и M соответственно так, что BK = KM = AM = AC. Во сколько раз угол при вершине B треугольника ABC меньше угла при вершине C.

Обозначим ABC = beta. Так как треугольник ABC равнобедренный с AB = BC, то BAC = BCA = (180^ - beta)/(2). Треугольник BKM. Дано BK = KM. Равные стороны BK и KM выходят из общей вершины K, значит углы, противолежащие им, равны: KBM = KMB = beta. Тогда BKM = 180^ - 2beta. Так как A, K, B — на одной прямой (K на AB), то AKM = 180^ - BKM = 2beta. Треугольник AKM. Дано AM = KM. Равные стороны AM и KM выходят из общей вершины M, значит MAK = MKA = 2beta. Следовательно, AMK = 180^ - 4beta. Точка M лежит на отрезке BC, значит AMB и AMC — смежные: AMB + AMC = 180^. С одной стороны, AMB = AMK + KMB = (180^ - 4beta) + beta = 180^ - 3beta. Треугольник AMC. Дано AM = AC. Равнобедренный треугольник с равными сторонами AM и AC, выходящими из A. Углы при основании MC равны: ACM = AMC. Поскольку M in BC, имеем ACM = ACB = (180^ - beta)/(2). Тогда AMC = (180^ - beta)/(2). Из AMB + AMC = 180^: (180^ - 3beta) + (180^ - beta)/(2) = 180^. Упрощаем: -3beta + 90^ - beta/2 = 0, откуда 7beta/2 = 90^, beta = (180^)/(7). Тогда ACB = (180^ - 180^/7)/(2) = (540^)/(7). Отношение: ( ACB)/( ABC) = (540^/7)/(180^/7) = 3. Ответ: 3.

3