Решите уравнение: _9((x^2)/(4)) + _3(x + 5) = 1 . Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите больший из них.

Задача №16849: Простейшие уравнения

ОДЗ: $x \neq = 0$ (чтобы $x^{2} /4 > 0$ ), $x + 5 > 0,$ то есть $x > - 5,$ $x \neq = 0 .$

Используем $lo g_{9} a = \frac{1}{2} lo g_{3} a :$

\frac{1}{2} lo g_{3} \frac{x ^{2}}{4} + lo g_{3} (x + 5) = 1.

lo g_{3} \frac{x ^{2}}{4} + lo g_{3} (x + 5) = 1.

lo g_{3} \frac{∣ x ∣}{2} + lo g_{3} (x + 5) = 1.

lo g_{3} \frac{∣ x ∣ ( x + 5 )}{2} = 1.

\frac{∣ x ∣ ( x + 5 )}{2} = 3 \Leftrightarrow ∣ x ∣ (x + 5) = 6.

Случай 1: $x > 0 .$ Тогда $x (x + 5) = 6,$ $x^{2} + 5 x - 6 = 0,$ $x = 1$ или $x = - 6 .$ Подходит $x = 1 .$

Случай 2: $- 5 < x < 0 .$ Тогда $- x (x + 5) = 6,$ $x^{2} + 5 x + 6 = 0,$ $(x + 2) (x + 3) = 0,$ $x = - 2$ или $x = - 3 .$ Оба в ОДЗ.

Проверка: при $x = - 3 :$ $lo g_{9} (9/4) + lo g_{3} 2 = 1 - lo g_{3} 2 + lo g_{3} 2 \cdot lo g_{9} \dots$ Проверим напрямую:

lo g_{9} \frac{9}{4} + lo g_{3} 2 = \frac{lo g _{3} 9 - lo g _{3} 4}{2} + lo g_{3} 2 = \frac{2 - 2 lo g _{3} 2}{2} + lo g_{3} 2 = 1 - lo g_{3} 2 + lo g_{3} 2 = 1. ✓

Корни: $- 3, - 2, 1 .$ Больший: $x = 1 .$

Ответ: 1.