Задача №16848

Найдите наибольшее значение функции $y=\sqrt{4x^2+5}-\sqrt{4(x^2-1)}$ на отрезке $\left[\sqrt{5};13\right]\text{.}$

Дана функция $y=\sqrt{4x^2+5}-\sqrt{4(x^2-1)}$ на отрезке $[\sqrt{5};13]\text{.}$

1. Область определения. $x^2-1⩾0\iff |x|⩾1\text{.}$ На отрезке $[\sqrt{5};13]$ это выполнено.

2. Преобразование. Умножим и разделим на сопряжённое:

3. Монотонность. На луче $[1;+\infty )$ обе функции $\sqrt{4x^2+5}$ и $\sqrt{4(x^2-1)}$ возрастают, значит, их сумма — знаменатель — возрастает, а вся дробь $y(x)$ — убывает.

4. Наибольшее значение на отрезке $[\sqrt{5};13]$ достигается в левом конце $x=\sqrt{5}\text{:}$

Ответ: $1$