Найдите абсциссу точки пересечения с осью Ox общей касательной к кривым y = x^2 + 3 и y = (3x+1)/(x).

1. Пусть f(x) = x^2 + 3, тогда f'(x) = 2x. Точка касания на параболе: M_0(x_0; x_0^2 + 3). Угловой коэффициент касательной к параболе: k = f'(x_0) = 2x_0. 2. Пусть g(x) = (3x+1)/(x) = 3 + (1)/(x), тогда g'(x) = -(1)/(x^2). Точка касания на гиперболе: P_0(a; 3 + (1)/(a)). Угловой коэффициент касательной к гиперболе: g'(a) = -(1)/(a^2). 3. Касательная общая, поэтому угловые коэффициенты равны: 2x_0 = -(1)/(a^2) => x_0 = -(1)/(2a^2), M_0(-(1)/(2a^2); (1)/(4a^4)+3). 4. Уравнение касательной к гиперболе в точке P_0: y - (3 + (1)/(a)) = -(1)/(a^2)(x - a). Точка M_0 принадлежит этой касательной, подставим её координаты: (1)/(4a^4) + 3 - (3 + (1)/(a)) = -(1)/(a^2)(-(1)/(2a^2) - a); (1 - 4a^3)/(4a^4) = (1 + 2a^3)/(2a^4); 1 - 4a^3 = 2 + 4a^3; 8a^3 = -1; a = -(1)/(2). 5. Тогда x_0 = -(1)/(2a^2) = -2; угловой коэффициент k = 2x_0 = -4; y_0 = x_0^2 + 3 = 7. Уравнение общей касательной: y - 7 = -4(x + 2). При y = 0: -7 = -4x - 8, откуда x = -(1)/(4). Ответ: -0,25.

-0,25