Задача №16846

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через точку $M$ пересечения медиан грани $SBC$ перпендикулярно плоскости основания проходит плоскость $\alpha \text{,}$ делящая $AB$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины $A\text{.}$

А) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $C\text{.}$
Б) Найдите расстояние от точки пересечения медиан грани $ADS$ до плоскости $\alpha \text{,}$ если сторона основания пирамиды равна $2\sqrt{10}\text{.}$

Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ со стороной основания $AB=2\sqrt{10}\text{.}$ $M$ — точка пересечения медиан грани $SBC\text{.}$

А) Доказательство, что $\alpha$ проходит через $C\text{.}$

Пусть $F$ — середина $BC\text{,}$ $L$ — середина $SB\text{.}$ Тогда $SF\cap CL=M$ — точка пересечения медиан $△SBC\text{,}$ причём $SM:MF=2:1\text{.}$ Пусть $O=AC\cap BD$ — центр основания, $SO\perp ABC$ — высота пирамиды.

Так как $SO\perp (ABC)$ и $SO\subset (SOF)\text{,}$ имеем $(SOF)\perp (ABC)\text{.}$ По условию $\alpha \perp (ABC)\text{.}$ Точка $M\in SF\subset (SOF)$ и $M\in \alpha \text{,}$ поэтому линия пересечения $(SOF)\cap \alpha =l$ — прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $(ABC)\text{.}$ Значит, $l\parallel SO\text{.}$

Пусть $N=l\cap OF\text{.}$ Из подобия (теорема Фалеса в $△SOF\text{,}$ $MN\parallel SO$):

$$\frac{FN}{ON}=\frac{FM}{SM}=\frac{1}{2}.$$

Значит, $FN=x\text{,}$ $ON=2x\text{,}$ $OF=3x\text{.}$ Но $OF$ — средняя линия $△ABC\text{,}$ поэтому $OF=\frac{1}{2}AB\text{.}$ Отсюда $AB=6x\text{.}$

По условию плоскость $\alpha$ делит $AB$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от $A\text{.}$ Пусть $K$ — точка на $AB$ с $AK:KB=2:1\text{,}$ значит $BK=2x\text{.}$ Прямая $KN$ — это след $\alpha$ на основании.

Из подобия $△C^{\prime }FN\sim △C^{\prime }BK$ (прямоугольных, угол $C^{\prime }$ общий):

$$\frac{C^{\prime }F}{C^{\prime }B}=\frac{FN}{BK}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$$

Значит, $C^{\prime }F=\frac{1}{2}BC=CF\text{.}$ Точки $C^{\prime }$ и $C$ совпадают, и $C\in \alpha \text{.}$ $■$

Б) Расстояние от точки пересечения медиан грани $ADS$ до $\alpha \text{.}$

Пусть $E$ — середина $AD\text{,}$ $P$ — точка пересечения медиан $△ADS\text{,}$ $SP:PE=2:1\text{.}$

Введём систему координат с началом в точке $C\text{.}$ Полудиагональ $OC=\sqrt{10}\text{,}$ высоту пирамиды обозначим $h=SO\text{.}$ Координаты:

$$C(0;0;0),K\left(\frac{2\sqrt{10}}{3};2\sqrt{10};0\right),S(\sqrt{10};\sqrt{10};h),E(2\sqrt{10};\sqrt{10};0).$$

Координата $P$ (делит $SE$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от $S$):

$$P\left(\frac{5\sqrt{10}}{3};\sqrt{10};\frac{h}{3}\right).$$

Уравнение $\alpha \text{.}$ Плоскость проходит через $C(0;0;0)\text{,}$ перпендикулярна $(ABC)$ (т.е. перпендикулярна оси $Oz$ — нормаль плоскости основания $(0;0;1)$), и содержит $K\text{.}$ Из условий получаем $\alpha :3x-y=0\text{,}$ нормаль $\vec{n}(3;-1;0)\text{.}$

Расстояние от $P$ до $\alpha \text{:}$

$$\rho (P,\alpha )=\frac{|5\sqrt{10}-\sqrt{10}|}{\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=4.$$

Ответ: $4\text{.}$