В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через точку M пересечения медиан грани SBC перпендикулярно плоскости основания проходит плоскость alpha, делящая AB в отношении 2:1, считая от вершины A. А) Докажите, что плоскость alpha проходит через точку C. Б) Найдите расстояние от точки пересечения медиан грани ADS до плоскости alpha, если сторона основания пирамиды равна 2sqrt(10).

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания AB = 2sqrt(10). M — точка пересечения медиан грани SBC. А) Доказательство, что alpha проходит через C. Пусть F — середина BC, L — середина SB. Тогда SF n CL = M — точка пересечения медиан SBC, причём SM : MF = 2 : 1. Пусть O = AC n BD — центр основания, SO ABC — высота пирамиды. Так как SO (ABC) и SO c (SOF), имеем (SOF) (ABC). По условию alpha (ABC). Точка M in SF c (SOF) и M in alpha, поэтому линия пересечения (SOF) n alpha = l — прямая, проходящая через M и перпендикулярная (ABC). Значит, l SO. Пусть N = l n OF. Из подобия (теорема Фалеса в SOF, MN SO): (FN)/(ON) = (FM)/(SM) = (1)/(2). Значит, FN = x, ON = 2x, OF = 3x. Но OF — средняя линия ABC, поэтому OF = (1)/(2)AB. Отсюда AB = 6x. По условию плоскость alpha делит AB в отношении 2 : 1, считая от A. Пусть K — точка на AB с AK : KB = 2 : 1, значит BK = 2x. Прямая KN — это след alpha на основании. Из подобия C'FN C'BK (прямоугольных, угол C' общий): (C'F)/(C'B) = (FN)/(BK) = (x)/(2x) = (1)/(2). Значит, C'F = (1)/(2)BC = CF. Точки C' и C совпадают, и C in alpha. Б) Расстояние от точки пересечения медиан грани ADS до alpha. Пусть E — середина AD, P — точка пересечения медиан ADS, SP : PE = 2 : 1. Введём систему координат с началом в точке C. Полудиагональ OC = sqrt(10), высоту пирамиды обозначим h = SO. Координаты: C(0; 0; 0), K((2sqrt(10))/(3); 2sqrt(10); 0), S(sqrt(10); sqrt(10); h), E(2sqrt(10); sqrt(10); 0). Координата P (делит SE в отношении 2:1, считая от S): P((5sqrt(10))/(3); sqrt(10); (h)/(3)). Уравнение alpha. Плоскость проходит через C(0;0;0), перпендикулярна (ABC) (т.е. перпендикулярна оси Oz — нормаль плоскости основания (0;0;1)), и содержит K. Из условий получаем alpha 3x - y = 0, нормаль n(3; -1; 0). Расстояние от P до alpha: (P, alpha) = (|5sqrt(10) - sqrt(10)|)/(sqrt(10)) = (4sqrt(10))/(sqrt(10)) = 4. Ответ: 4.

4