Задача №16845

В магазине продают квадратные и прямоугольные подносы, длины сторон которых выражаются натуральными числами. Для каждого квадратного подноса обязательно найдётся прямоугольный, равный ему по площади, но шириной на $8$ меньше, чем сторона квадратного. И наоборот, для каждого прямоугольного подноса обязательно найдётся квадратный, равный ему по площади, со стороной на $8$ больше, чем его ширина.

А) Может в магазине продаваться прямоугольный поднос шириной $18\text{?}$
Б) Может в магазине продаваться прямоугольный поднос длиной $32\text{?}$
В) Какое наибольшее количество подносов с различными сторонами может продаваться в магазине?

Пусть $a$ — сторона квадратного подноса, тогда его площадь равна $a^2\text{.}$ Соответствующий ему прямоугольный поднос имеет ширину $a-8\text{,}$ и из условия равенства площадей $a^2=(a-8)\cdot b$ получаем длину

$$b=\frac{a^2}{a-8}=\frac{a^2-64+64}{a-8}=\frac{(a-8)(a+8)+64}{a-8}=a+8+\frac{64}{a-8}.$$

Чтобы $b$ было натуральным, число $a-8$ должно быть положительным делителем $64\text{.}$ У числа $64=2^6$ ровно $7$ натуральных делителей: $1,2,4,8,16,32,64\text{.}$

А) Может ли продаваться прямоугольный поднос шириной $18\text{?}$

Ширина прямоугольника равна $a-8\text{,}$ значит, $a-8=18\text{,}$ т. е. $a=26\text{.}$ Но $18$ не делит $64$ (длина $b=26+8+\frac{64}{18}=34+\frac{32}{9}$ — не натуральное число), значит, такого подноса в магазине быть не может.

Ответ А): нет.

Б) Может ли продаваться прямоугольный поднос длиной $32\text{?}$

Из уравнения $\frac{a^2}{a-8}=32$ получаем $a^2-32a+256=0\text{,}$ $(a-16{)}^2=0\text{,}$ $a=16\text{.}$ Тогда квадратный поднос имеет сторону $16$ (площадь $256$), а прямоугольный — ширину $a-8=8$ и длину $32$ (площадь $8\cdot 32=256$). Условие задачи выполнено.

Ответ Б): да.

В) Наибольшее количество подносов с различными сторонами.

Перебираем все $7$ значений делителей $64$ и составляем таблицу:

Все стороны квадратов попарно различны (значения $9,10,12,16,24,40,72$). Все прямоугольники попарно различны (пары сторон $\{1;81\}\text{,}$ $\{2;50\}\text{,}$ $\{4;36\}\text{,}$ $\{8;32\}\text{,}$ $\{16;36\}\text{,}$ $\{32;50\}\text{,}$ $\{64;81\}$ не повторяются). Получаем $7$ квадратных подносов и $7$ прямоугольных, итого $7+7=14$ подносов.

Ответ:

А) нет

Б) да

В) $14$