В магазине продают квадратные и прямоугольные подносы, длины сторон которых выражаются натуральными числами. Для каждого квадратного подноса обязательно найдётся прямоугольный, равный ему по площади, но шириной на 8 меньше, чем сторона квадратного. И наоборот, для каждого прямоугольного подноса обязательно найдётся квадратный, равный ему по площади, со стороной на 8 больше, чем его ширина. А) Может в магазине продаваться прямоугольный поднос шириной 18 ? Б) Может в магазине продаваться прямоугольный поднос длиной 32 ? В) Какое наибольшее количество подносов с различными сторонами может продаваться в магазине?

Пусть a — сторона квадратного подноса, тогда его площадь равна a^2 . Соответствующий ему прямоугольный поднос имеет ширину a - 8 , и из условия равенства площадей a^2 = (a - 8) * b получаем длину b = (a^2)/(a - 8) = (a^2 - 64 + 64)/(a - 8) = ((a - 8)(a + 8) + 64)/(a - 8) = a + 8 + (64)/(a - 8). Чтобы b было натуральным, число a - 8 должно быть положительным делителем 64 . У числа 64 = 2^6 ровно 7 натуральных делителей: 1,2,4,8,16,32,64 . А) Может ли продаваться прямоугольный поднос шириной 18 ? Ширина прямоугольника равна a - 8 , значит, a - 8 = 18 , т. е. a = 26 . Но 18 не делит 64 (длина b = 26 + 8 + (64)/(18) = 34 + (32)/(9) — не натуральное число), значит, такого подноса в магазине быть не может. Ответ А): нет. Б) Может ли продаваться прямоугольный поднос длиной 32 ? Из уравнения (a^2)/(a - 8) = 32 получаем a^2 - 32a + 256 = 0 , (a - 16)^2 = 0 , a = 16 . Тогда квадратный поднос имеет сторону 16 (площадь 256 ), а прямоугольный — ширину a - 8 = 8 и длину 32 (площадь 8 * 32 = 256 ). Условие задачи выполнено. Ответ Б): да. В) Наибольшее количество подносов с различными сторонами. Перебираем все 7 значений делителей 64 и составляем таблицу: | a - 8 | a (сторона квадрата) | Прямоугольник (a-8) * b | |---|---|---| | 1 | 9 | 1 * 81 | | 2 | 10 | 2 * 50 | | 4 | 12 | 4 * 36 | | 8 | 16 | 8 * 32 | | 16 | 24 | 16 * 36 | | 32 | 40 | 32 * 50 | | 64 | 72 | 64 * 81 | Все стороны квадратов попарно различны (значения 9,10,12,16,24,40,72 ). Все прямоугольники попарно различны (пары сторон 1;81 , 2;50 , 4;36 , 8;32 , 16;36 , 32;50 , 64;81 не повторяются). Получаем 7 квадратных подносов и 7 прямоугольных, итого 7 + 7 = 14 подносов. Ответ: А) нет Б) да В) 14

А) Нет; Б) Да; В) $14$