Найдите значение выражения (sin^4 alpha)/(3cos^2 alpha - sin^2 alpha) , если tg alpha = -2 .

Задача №16838: Вычисления и преобразования

Найдите значение выражения $\frac{sin ^{4} α}{3 cos ^{2} α - sin ^{2} α},$ если $t g α = - 2 .$

Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^{4} α$ (поскольку $cos α \neq = 0$ ):

\frac{sin ^{4} α}{3 cos ^{2} α - sin ^{2} α} = \frac{t g ^{4} α \cdot cos ^{2} α}{3 - t g ^{2} α} .

Используя формулу $cos^{2} α = \frac{1}{1 + t g ^{2} α},$ преобразуем выражение:

\frac{t g ^{4} α}{( 3 - t g ^{2} α ) ( 1 + t g ^{2} α )} .

При $t g α = - 2$ имеем $t g^{2} α = 4$ и $t g^{4} α = 16 .$ Подставим эти значения в полученное выражение:

\frac{16}{( 3 - 4 ) ( 1 + 4 )} = \frac{16}{- 1 \cdot 5} = - 3, 2.

Ответ: $- 3, 2$

Найдите значение выражения $\frac{sin ^{4} α}{3 cos ^{2} α - sin ^{2} α},$ если $t g α = - 2 .$

Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^{4} α$ (поскольку $cos α \neq = 0$ ):

\frac{sin ^{4} α}{3 cos ^{2} α - sin ^{2} α} = \frac{t g ^{4} α \cdot cos ^{2} α}{3 - t g ^{2} α} .

Используя формулу $cos^{2} α = \frac{1}{1 + t g ^{2} α},$ преобразуем выражение:

\frac{t g ^{4} α}{( 3 - t g ^{2} α ) ( 1 + t g ^{2} α )} .

При $t g α = - 2$ имеем $t g^{2} α = 4$ и $t g^{4} α = 16 .$ Подставим эти значения в полученное выражение:

\frac{16}{( 3 - 4 ) ( 1 + 4 )} = \frac{16}{- 1 \cdot 5} = - 3, 2.

Ответ: $- 3, 2$