Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник missions/fc71667c-1738-46ea-a271-5002ec5f9711.png Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC , AB = BC . Точка K — точка пересечения диагоналей грани ACC_1A_1 , точка L делит ребро A_1B_1 так, что A_1L : LB_1 = 3 : 1 , точка M делит ребро BC в отношении CM : MB = 1 : 3 . а) Докажите, что плоскость KML делит ребро BB_1 в отношении 9 : 1 , считая от точки B . б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости KML , если AB = BC = 4sqrt(5) , AA_1 = 20 , AC = 16 .

Решение пункта а) 1. Пусть A_1B_1 = AB = BC = 4x , тогда B_1L = CM = x , BM = 3x . В плоскости ABC : пусть AC = 4y . Проведём MN AC , где MN n AB = N . Тогда BMN BCA (по двум углам: B — общий, MNB = A как соответственные при MN AC и секущей AB ). Из подобия имеем: (MN)/(AC) = (BN)/(AB) = (BM)/(BC) = (3)/(4), откуда MN = 3y , BN = 3x , AN = AB - BN = x . 2. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, A_1K = CK по свойству диагоналей. В плоскости ACC_1 проведём KF AC , где KF n AA_1 = F . По теореме Фалеса A_1F = AF , следовательно, KF — средняя линия AA_1C , значит, KF = (1)/(2)AC = 2y . 3. Так как MN AC и KF AC , то MN KF . Эти прямые задают единственную плоскость KMN . Пусть в этой плоскости KM n FN = D . Тогда DKF DMN (общий угол D и соответственные углы при MN KF ). Из подобия следует: (DF)/(DN) = (KF)/(MN) = (2y)/(3y) = (2)/(3). Следовательно, если FN = a , то DF = 2a , а DN = 3a . Так как D in KM и KM c KML , то D in KML . 4. В плоскости ABB_1 пусть FN n A_1B_1 = E . Проведём DH A_1B_1 , где H in A_1B_1 . Пусть DL n BB_1 = P . Так как DL c KML , то BB_1 n KML = P . Прямоугольные треугольники A_1FE = AFN по катету ( A_1F = AF ) и вертикальным острым углам. Отсюда A_1E = AN = x и FE = FN = a . Тогда DE = DF - FE = 2a - a = a , и HDE = A_1FE (по гипотенузе и вертикальному острому углу), значит, HE = A_1E = x и HD = A_1F = (1)/(2)AA_1 = (1)/(2)BB_1 . Тогда LH = A_1L + A_1E + HE = 3x + x + x = 5x . 5. Рассмотрим прямоугольные треугольники PLB_1 и DLH . Они подобны по двум углам (прямой угол и вертикальные углы при вершине L ). Из подобия: (B_1P)/(HD) = (B_1L)/(LH) = (x)/(5x) = (1)/(5). Следовательно, HD = 5 B_1P . Учитывая, что BB_1 = 2HD , получаем BB_1 = 10 B_1P . Тогда BP = BB_1 - B_1P = 9 B_1P . Таким образом, BP : B_1P = 9 : 1 , что и требовалось доказать. Решение пункта б) При заданных значениях AB = BC = 4sqrt(5) , AA_1 = 20 , AC = 16 расстояние от точки A до плоскости KML равно (26)/(3) . Ответ: б) 8(2)/(3)

Б) $8\dfrac{2}{3} = \dfrac{26}{3}$.