Задача №16833

1. Поскольку $AC\perp BD\text{,}$ в треугольнике $DEC$ $\angle DEC=90^{\circ }\text{.}$ По условию $\angle BDC=60^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle DCE=30^{\circ }\text{.}$ Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на дугу $BC\text{,}$ значит $\angle BAC=60^{\circ }\text{,}$ тогда в прямоугольном $△AEB$ ($\angle AEB=90^{\circ }$): $\angle ABE=30^{\circ }\text{.}$

2. В $△AEB\text{:}$

$$AE=AB\cdot \cos 60^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4.$$

В прямоугольном $△AED\text{:}$

$$ED=\sqrt{A{D}^2-A{E}^2}=\sqrt{25-16}=3.$$

3. Пусть $H$ — точка пересечения $EM$ с $AB\text{.}$ В $△BEH\text{:}$ $\angle H=90^{\circ }\text{,}$ $\angle EBH=30^{\circ }\Rightarrow \angle BEH=60^{\circ }\text{.}$ Тогда $\angle DEM=\angle BEH=60^{\circ }$ (вертикальные). Также $\angle EDM=\angle BDC=60^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $△DEM$ — равносторонний, $EM=ED=3\text{.}$

4. В $△EMC\text{:}$ $\angle MEC=\angle AEH=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$ (вертикальные с $\angle AEH$), $\angle ECM=\angle DCE=30^{\circ }\text{.}$ Треугольник равнобедренный с равными углами при основании $EC\text{,}$ значит $MC=EM=3\text{.}$

Ответ: 3.