У четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E . Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно AB , пересекает DC в точке M , AB = 8 , AD = 5 , BDC = 60^ . Найдите MC .

1. Поскольку AC BD , в треугольнике DEC DEC = 90^ . По условию BDC = 60^ , поэтому DCE = 30^ . Вписанные углы BAC и BDC опираются на дугу BC , значит BAC = 60^ , тогда в прямоугольном AEB ( AEB = 90^ ): ABE = 30^ . 2. В AEB : AE = AB * cos 60^ = 8 * (1)/(2) = 4. В прямоугольном AED : ED = sqrt(AD^2 - AE^2) = sqrt(25 - 16) = 3. 3. Пусть H — точка пересечения EM с AB . В BEH : H = 90^ , EBH = 30^ => BEH = 60^ . Тогда DEM = BEH = 60^ (вертикальные). Также EDM = BDC = 60^ . Следовательно, DEM — равносторонний, EM = ED = 3 . 4. В EMC : MEC = AEH = 90^ - 60^ = 30^ (вертикальные с AEH ), ECM = DCE = 30^ . Треугольник равнобедренный с равными углами при основании EC , значит MC = EM = 3 . Ответ: 3.

3